如图,直线y=√3x/3+4与x轴、y轴分别交于点A,点B,以直线AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,在坐标平面内有一点P（a,2）且△ABP的面积与△ABC的面积相等.求a的值

如图,直线y=√3x/3+4与x轴、y轴分别交于点A,点B,以直线AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,在坐标平面内有一点P（a,2）且△ABP的面积与△ABC的面积相等.求a的值
如图,直线y=√3x/3+4与x轴、y轴分别交于点A,点B,以直线AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,
∠BAC=90°,在坐标平面内有一点P（a,2）且△ABP的面积与△ABC的面积相等.
求a的值

如图,直线y=√3x/3+4与x轴、y轴分别交于点A,点B,以直线AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,在坐标平面内有一点P（a,2）且△ABP的面积与△ABC的面积相等.求a的值
由y=（-√3/3）x+1,
令y=0,x=√3,∴A（√3,0）
令x=0,y=1,∴B（0,1）∴AB=√[（√3）²+1²]=2,
过A作AC⊥AB,且AC=AB=2,
S△ABC=2²×1/2=2.
设P（a,1/2）,过P作PQ⊥x轴于Q,Q（a,0）
△PQA的面积：S1=（√3-a）×1/2×1/2=（√3-a）/4,
四边形ABPQ面积S=△ABO+梯形OBPQ,
=1×√3÷2+(1+1/2)(-a)÷2
=√3/2-3a/4,
也可以表示为S=△APQ+△ABP（∵△ABP=△ABC=2）
=（√3-a）/4+2,
∴√3/2-3a/4=（√3-a）/4+2,
a=（√3-8）/2.