已知圆C：（x-3)²+（y-4）²=4及两点A（-1,0）,B（1,0）,P（x,y）,为圆C上任意一点,求|AP|²+|BP|²的最小值

已知圆C：（x-3)²+（y-4）²=4及两点A（-1,0）,B（1,0）,P（x,y）,为圆C上任意一点,求|AP|²+|BP|²的最小值
已知圆C：（x-3)²+（y-4）²=4及两点A（-1,0）,B（1,0）,P（x,y）,为圆C上
任意一点,求|AP|²+|BP|²的最小值

已知圆C：（x-3)²+（y-4）²=4及两点A（-1,0）,B（1,0）,P（x,y）,为圆C上任意一点,求|AP|²+|BP|²的最小值
方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（
把平行四边形切去一半,剩下三角形和中线,
由上面的结论可得,
|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2,其中o为坐标原点.
故,要想所求平方和最小,只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20
方法二:
设P点坐标为（x,y）,
则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小,只需PO最小,
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20

圆心为C(3，4)，半径为r=2。
|AP|²+|BP|²=(x+1)²+y²+(x-1)²+y²=2(x²+y²)+2=2|PO|²+2，
当且仅当P为线段OC与圆C的交点时，|PO|最小为|OC|-r=5-2=3，
所以|AP|²+|BP|²的最小值为20。

A=|AP|^2+|BP|^2=(-1-x)^2+(0-y)^2+(1-x)^2+(0-y)^2=2X^2+2+2Y^2
园方程得
X=3 Y=2 Amin=2*3^2+2+2*2^2=28