已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²＝r²(r＞0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 16:00:46
已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²＝r²(r＞0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²＝r²(r＞0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
已知A(2,-3),B(-2,0),点c是圆(x-2)²+(y-2)²＝r²(r＞0)上任意一点,若△ABC面积最大值为15,求半径的值
答：
点A（2,-3）,点B（-2,0）
点C在圆(x-2)²+(y-2)²=R²上
直线AB斜率k=(-3-0)/(2+2)=-3/4
直线AB：y-0=(-3/4)(x+2),即3x+4y+6=0
AB=√[(-3-0)²+(2+2)²]=5
面积最大15,则点C到AB的距离h最大为：h=15*2/AB=30/5=6
点C为（a,b）在圆上：
(a-2)²+(b-2)²=r²
点C到AB的距离d=|3a+4b+6|/5=6
|3a+4b+6|=30
所以：
3a+4b+6=30或者3a+4b+6=-30
所以：
3a+4b-24=0或者3a+4b+36=0
所以：上述两条直线与圆相切,圆心(2,2)到直线距离d=R
所以：d=|6+8-24|/5=R或者d=|6+8+36|/5=R
解得：R=2或者R=10
设三角形在圆上的点为C，则C一定在过圆心且与AB垂直的直线上。过C作CD⊥AB交AB于D。
∵AB的斜率＝（－3－0）/（2＋2）＝－3/4，∴CD的斜率＝4/3。
由给定的圆的方程，得圆心坐标为（2，2），∴CD的方程是y－2＝（4/3）（x－2），
即：y＝4x/3＋2－8/3＝4x/3－2/3。∴可设点C的坐标为（m，4m/3－2/3）。
显然，｜AB｜＝√［...
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设三角形在圆上的点为C，则C一定在过圆心且与AB垂直的直线上。过C作CD⊥AB交AB于D。
∵AB的斜率＝（－3－0）/（2＋2）＝－3/4，∴CD的斜率＝4/3。
由给定的圆的方程，得圆心坐标为（2，2），∴CD的方程是y－2＝（4/3）（x－2），
即：y＝4x/3＋2－8/3＝4x/3－2/3。∴可设点C的坐标为（m，4m/3－2/3）。
显然，｜AB｜＝√［（2＋2）^2＋（－3－0）^2］＝√（16＋9）＝5，
又△ABC的面积＝（1/2）｜AB｜｜CD｜＝（5/2）｜CD｜＝15，∴｜CD｜＝6。
而AB的方程是y＝－（3/4）（x＋2），3x＋4y＋6＝0。
由点到直线的距离公式，有：｜CD｜＝｜3m＋4（4m/3－2/3）＋6｜/√（9＋16），
∴｜3m＋4（4m/3－2/3）＋6｜/√（9＋16）＝6，∴｜3m＋4（4m/3－2/3）＋6｜＝30，
∴｜9m＋16m－8＋18｜＝90，∴｜25m＋10｜＝90，
∴25m＋10＝90，或25m＋10＝－90，∴m＝80/25＝16/5，或m＝－100/25＝－4。
一、当m＝16/5时，4m/3－2/3＝64/15－10/15＝54/15＝18/5。
∴此时点C的坐标为（16/5，18/5）。
∵C在圆上，∴r^2＝（16/5－2）^2＋（18/5－2）^2＝36/25＋64/25＝100/25＝4，
∴r＝2。
二、当m＝－4时，4m/3－2/3＝－16/3－2/3＝－18/3＝－6。
∴此时点C的坐标为（－4，－6）。
∵C在圆上，∴r^2＝（－4－2）^2＋（－6－2）^2＝36＋64＝100，∴r＝10。
综上一、二所述，满足条件的r的值为 2 或 10。
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