方程组x+y+z=9,x^3+y^3+z^3=99,xyz=24,有（ ）组解.A.2B.4C.6D.8
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 17:32:20
方程组x+y+z=9,x^3+y^3+z^3=99,xyz=24,有（ ）组解.A.2B.4C.6D.8
方程组x+y+z=9,x^3+y^3+z^3=99,xyz=24,有（ ）组解.
A.2
B.4
C.6
D.8
方程组x+y+z=9,x^3+y^3+z^3=99,xyz=24,有（ ）组解.A.2B.4C.6D.8
由99＝x^3＋y^3＋z^3＝(x＋y＋z)(x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－zx)＋3xyz＝9(x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－zx)＋72
∴x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－zx＝3 ⑴
又81＝(x＋y＋z)^2＝x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2yz＋2zx ⑵
⑵－⑴得：xy＋yz＋zx＝26
∴x、y、z是方程a^3－9a^2＋26a－24＝0的三个根
而a^3－9a^2＋26a－24＝(a－2)(a－3)(a－4)
∴方程a^3－9a^2＋26a－24＝0的三个根分别是2、3、4
从而有：
x＝2,y＝3,z＝4；
x＝2,y＝4,z＝3；
x＝3,y＝2,z＝4；
x＝3,y＝4,z＝2；
x＝4,y＝2,z＝3；
x＝4,y＝3,z＝2
共六组解
答x=2,y=3,z=4,是一组解,x=3互换还有
x+y+z、x^3+y^3+z^3、xyz是轮换对称多项式
显然x=2,y=3,z=4是一组解，故方程组有六组解:
x1=2,y1=3,z1=4
x2=2,y2=4,z2=3
x3=3,y3=2,z3=4
x4=3,y4=4,z4=2
x5=4,y5=2,z5=3
x6=4,y6=3,z6=2
故选C
显然x,y,z非0.
如果x,y,z中有一个是负数，比如z<= -1，那么x+y=9-z>=10，所以x或y不小于5,设x>=5。由于x是24的因子，所以x>=6, |yz|<= 4，当|yz|<=4时，y^3+z^3最小是-4^3-1 = -65，所以x^3+y^3+z^3 >= 6^3 - 65 > 99，第二式不可能成立，所以x,y,z均为正数
由x,y,z>0，x^3 + ...
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显然x,y,z非0.
如果x,y,z中有一个是负数，比如z<= -1，那么x+y=9-z>=10，所以x或y不小于5,设x>=5。由于x是24的因子，所以x>=6, |yz|<= 4，当|yz|<=4时，y^3+z^3最小是-4^3-1 = -65，所以x^3+y^3+z^3 >= 6^3 - 65 > 99，第二式不可能成立，所以x,y,z均为正数
由x,y,z>0，x^3 + y^3 + z^3 = 99，及4^3 = 64 < 99 < 125 = 5^3知，x,y,z中最大的数不超过4.
又因为x+y+z=9，所以最大的数至少是3，但如果最大数是3，则所有数都是3，但3^3 不等于24，所以最大的数是4
设x = 4, 则yz = 6, y+z = 5，有唯一一组解（不考虑顺序，是方程t^2-5t+6＝0的根） (y,z) = (2,3)
注意到解(4,3,2)也满足条件x^3+y^3+z^3=99，所以这是唯一一组解。
由对称性，由于2,3,4互不相同，所以当考虑x,y,z的次序时，共有3!=6组解。
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你好
方程组x+y+z=9,x^3+y^3+z^3=99,xyz=24，有（ 3）组解.
方程数等于未知数，方程有解，解的组数为未知数的最高次
数学辅导团为您解答，不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)谢谢！A.2
B.4
C.6
D.8C吧为什么？解释一下这个说实话，我也不是很确定
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你好
方程组x+y+z=9,x^3+y^3+z^3=99,xyz=24，有（ 3）组解.
方程数等于未知数，方程有解，解的组数为未知数的最高次
数学辅导团为您解答，不理解请追问，理解请及时选为满意回答！(*^__^*)谢谢！
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六组XYZ分别为2，3，4循环即，234，243，324，342，423，432