如图,AC平行于BD,AE和BE分别平分角CAB和角DBA,CD过点E.求证：（1）AE垂直于BE（2）AB等于AC加BD.（用等腰三角形的知识解决）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 17:14:08
如图,AC平行于BD,AE和BE分别平分角CAB和角DBA,CD过点E.求证：（1）AE垂直于BE（2）AB等于AC加BD.（用等腰三角形的知识解决）
如图,AC平行于BD,AE和BE分别平分角CAB和角DBA,CD过点E.
求证：（1）AE垂直于BE（2）AB等于AC加BD.（用等腰三角形的知识解决）
如图,AC平行于BD,AE和BE分别平分角CAB和角DBA,CD过点E.求证：（1）AE垂直于BE（2）AB等于AC加BD.（用等腰三角形的知识解决）
∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°,
∵AE、BE为角平分线,
∴∠BAE=1/2∠CAB,∠ABE=1/2∠ABD,
∴∠ABE+∠BAE=1/2(∠CAB+∠ABD)=90°,
∴∠AEB=90°,即AE⊥BE.
⑵延长AE交BD的延长线于F,(要证明AB=AC+BD,必须加条件：E为CD的中点)
∵AC∥BD,∴∠CAE=∠F,∠C=∠F,CE=DE,
∴ΔACE≌ΔFDE,
∴AE=FE,AC=DF,∴AC+BD=DF+BD=BF.
∵BE⊥AF,AE=FE,(BE是AF的垂直平分线)
∴AB=BF,(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
∴AB=AC+BD.
证明：延长BE交AC的延长线于F
∵BE平分∠DBA
∴∠DBE＝∠ABE
∵AC∥BD
∴∠DBE＝∠F，∠D＝∠FCE
∴∠ABE＝∠F
∴AB＝AF
∵AE平分∠CAB
∴AE⊥BE，BE＝EF （三线合一）
∴△BDE≌△FCE （AAS）
∴CF＝BD
∵AF＝AC+CF
∴AF＝AC+B...
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证明：延长BE交AC的延长线于F
∵BE平分∠DBA
∴∠DBE＝∠ABE
∵AC∥BD
∴∠DBE＝∠F，∠D＝∠FCE
∴∠ABE＝∠F
∴AB＝AF
∵AE平分∠CAB
∴AE⊥BE，BE＝EF （三线合一）
∴△BDE≌△FCE （AAS）
∴CF＝BD
∵AF＝AC+CF
∴AF＝AC+BD
∴AB＝AC+BD
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(1)因∠CAB+∠DBA=180，∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠DBE
所以2∠ABE+2∠BAE=180，即∠ABE+∠BAE=90
表明ABE为直角三角形，即AE垂直于BE
(2)延长AE交BD的延长线于F，延长BE交AC的延长线于G
在三角形ABG中，AE垂直于BG，且AE为∠BAC的平分线，则AB=AG（等腰三角形三线合一） ...
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(1)因∠CAB+∠DBA=180，∠BAE=∠CAE，∠ABE=∠DBE
所以2∠ABE+2∠BAE=180，即∠ABE+∠BAE=90
表明ABE为直角三角形，即AE垂直于BE
(2)延长AE交BD的延长线于F，延长BE交AC的延长线于G
在三角形ABG中，AE垂直于BG，且AE为∠BAC的平分线，则AB=AG（等腰三角形三线合一）
同理，在三角形ABF中有AB=BF。所以AB=AG=BF
又在三角形ABF中，由等腰三角形性质知AE=EF，则在三角形ACE和FED全等（注意到AC//BD），所以AC=DF
于是AB=BF=BD+DF=BD+AC
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