已知向量OA、OB、OC是模相等的非零向量,且OA+OB+OC=0,求证ΔABC是正三角形

已知向量OA、OB、OC是模相等的非零向量,且OA+OB+OC=0,求证ΔABC是正三角形
已知向量OA、OB、OC是模相等的非零向量,且OA+OB+OC=0,求证ΔABC是正三角形

已知向量OA、OB、OC是模相等的非零向量,且OA+OB+OC=0,求证ΔABC是正三角形
证明：设|OA|=|OB|=|OC|=a
OA+OB+OC=0 ==>-OA=OB+OC
==> OA^2=(OB+OC)^2
==>a^2=2a^2+2a^2cos(OB,OC)
==>cos(OB,OC)=-1/2
==>(OB,OC)=120度
类似可证得(OA,OC)=(OA,OB)=120度
利用余弦定理可证明：AB=AC=BC=根号3a
==>ΔABC是正三角形

OA+OB=CO 再画个图，用三角形法则，然后模相等么画出来的三角形的三条边也相等，所以是等边三角形

可以建立xOy坐标系，设出A.B.C的坐标。
A(a,b) B(c,d) C(e,f)
已知a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2
只需证明AB=BC=AC即可。

证明：
由已知，可知，点O为ΔABC的重心。（这个可用以Δ的任何一边为边作一平行四边形，注意重心将中线分为上下之比为2：1，则可得）
所以 OA，OB，OC中任一的延长线为Δ的中线。
又 刚作的平行四边形为菱形。
所以 两对角线互相垂直。
所以 OA，OB，OC中任一的延长线为Δ的中线也为Δ的高。
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证明：
由已知，可知，点O为ΔABC的重心。（这个可用以Δ的任何一边为边作一平行四边形，注意重心将中线分为上下之比为2：1，则可得）
所以 OA，OB，OC中任一的延长线为Δ的中线。
又 刚作的平行四边形为菱形。
所以 两对角线互相垂直。
所以 OA，OB，OC中任一的延长线为Δ的中线也为Δ的高。
根据等边三角形任两线重合。易得。

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