求函数y=(3sinx+1)/(3sinx+2)的值域

求函数y=(3sinx+1)/(3sinx+2)的值域
求函数y=(3sinx+1)/(3sinx+2)的值域

求函数y=(3sinx+1)/(3sinx+2)的值域

y=(3sinx+1)/(3sinx+2)
=(3sinx+2-1)/(3sinx+2)
=1-1/(3sinx+2)
∵ sinx∈[-1,1]
∴ 3sinx+2∈[-1,5]
注意到分母不为0
∴ 3sinx+2∈[-1,0)U(0,5]
∴ 1/(sinx+2)∈(-∞,-1]U[1/5,+∞）
∴ -1 /(sinx+2)∈(-∞,-1/5]U[1,+∞）
∴ 1-1 /(sinx+2)∈(-∞,4/5]U[2,+∞）
即函数y=(3sinx+1)/(3sinx+2)的值域为(-∞,4/5]U[2,+∞）

【0,4/5】

方法`
定sinx=t tE[-1,1]
y=(3t+1)/(3t+2)
3ty+2y=3t+1
3t(y-1)=1-2y
t=(1-2y)/(3y-3) E [-1,1]
(1-2y)/(3y-3)>=-1 (1-2y+3y-3)/(3y-3)>=0 (y-2)(y-1)>=0 y>=2 or y<=1
且：(1-2y...

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方法`
定sinx=t tE[-1,1]
y=(3t+1)/(3t+2)
3ty+2y=3t+1
3t(y-1)=1-2y
t=(1-2y)/(3y-3) E [-1,1]
(1-2y)/(3y-3)>=-1 (1-2y+3y-3)/(3y-3)>=0 (y-2)(y-1)>=0 y>=2 or y<=1
且：(1-2y)/(3y-3)<=1 (1-2y-3y+3)/(3y-3)<=1 (4-5y)/(y-1)<=0 y>=1 or y<=4/5
综合得： y>=2 or y<4/5

方法2
定sinx=t tE[-1,1]
y=(3t+1)/(3t+2)=(3t+2-1)/(3t+2)=1-1/(3t+2)
由于1/(3t+2)在3t+2>0时，即：t>-2/3时是减的，所以t>-2/3时，-1/(3t+2)是增的
当t>-2/3时：ymax=1-1/(3*1+2)=4/5，即：y<=4/5
当t<-2/3时，是增的，取ymin=1-1/(-3+2)=2，即：y>=2
所以值域为：y<=4/5 or y>=

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方法一：分离常数法
y=(3sinx+2-1)/(3sinx+2)=1-1/(3sinx+2)
sinx∈[-1,1]，则：3sinx+2∈[-1,0)U(0,5]
则：1/(3sinx+2)∈(-∞,-1]U[1/5,+∞)
则：1-1/(3sinx+2)∈...

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方法一：分离常数法
y=(3sinx+2-1)/(3sinx+2)=1-1/(3sinx+2)
sinx∈[-1,1]，则：3sinx+2∈[-1,0)U(0,5]
则：1/(3sinx+2)∈(-∞,-1]U[1/5,+∞)
则：1-1/(3sinx+2)∈(-∞,4/5]U[2,+∞)
所以，值域为y∈(-∞,4/5]U[2,+∞)
方法二：有界性法
该题中，-1≦sinx≦1且sinx≠-2/3
y(3sinx+2)=3sinx+1
3ysinx+2y=3sinx+1
(3y-3)sinx=1-2y
sinx=(1-2y)/(3y-3)
-1≦(1-2y)/(3y-3)≦1且(1-2y)/(3y-3)≠-2/3
解得：y∈(-∞,4/5]U[2,+∞)
所以，值域为y∈(-∞,4/5]U[2,+∞)
祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

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3sinx=(1-2y)/(y-1)（很显然y不等于1)
然后-1<=(1-2y)/(y-1)<=1
即绝对值（(1-2y)/(y-1)）<=1
平方即得