(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:02:56
(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数
(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!
m,n均为正整数
(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!=m!(m+n)!/(m+1)!m,n均为正整数
m!(n-1)!/0!+(m+1)!(n-1)!/1!+(m+2)!(n-1)!/2!+……+(m+n-1)!(n-1)!/(n-1)!
=m!(n-1)!* sigma(0,n-1)[C(m+k,k)]
然后用数学归纳法证明sigma(0,n-1)[C(m+k,k)]=C(m+n,n-1)
对于n=1、2很容易验证该公式正确
假设对所有n
式子化简：
左边=(n-1)![m!/0! + (m+1)m!/1! + (m+2)(m+1)m!/2! + ……]
=m!(n-1)![1 + (m+1)/1 + (m+2)(m+1)/2! + ……]
=m!(n-1)![C(m,0) + C(m+1,1) + C(m+2,2) + C(m+3,3) + …… + C(m+n-1,n-1)]
然后就可以分别对m，...
全部展开
式子化简：
左边=(n-1)![m!/0! + (m+1)m!/1! + (m+2)(m+1)m!/2! + ……]
=m!(n-1)![1 + (m+1)/1 + (m+2)(m+1)/2! + ……]
=m!(n-1)![C(m,0) + C(m+1,1) + C(m+2,2) + C(m+3,3) + …… + C(m+n-1,n-1)]
然后就可以分别对m，n进行数学归纳，具体归纳比较麻烦但是思路很简单，你可以试试看。
收起
用排列组合证
(m+k)!(n-1)!/k!=[m!(n-1)!]*C(m+k,k),其中C(m+k,k)=(m+k)!/(m!*k!)
而C(m+k,k)+C(m+k+1,k)=C(m+k+1,k+1),挨个递加即可得所求