抛物线y^2=2px(p>0) 的焦点F,AB是焦点弦,过A、B分别做准线L的垂线AC,BD ,垂足分别为C,D.如何证明 以CD为直径的圆切AB于点F

抛物线y^2=2px(p>0) 的焦点F,AB是焦点弦,过A、B分别做准线L的垂线AC,BD ,垂足分别为C,D.如何证明 以CD为直径的圆切AB于点F
抛物线y^2=2px(p>0) 的焦点F,AB是焦点弦,过A、B分别做准线L的垂线AC,BD ,垂足分别为C,D.
如何证明 以CD为直径的圆切AB于点F

抛物线y^2=2px(p>0) 的焦点F,AB是焦点弦,过A、B分别做准线L的垂线AC,BD ,垂足分别为C,D.如何证明 以CD为直径的圆切AB于点F
设CD的中点为E,可先证∠CFD是直角,这样,F就在以CD为直径的圆上；然后证明EF⊥AB.
从而就证明了以CD为直径的圆切AB于点F.
F(p/2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则C(-p/2,y1),D(-p/2,y2),E(-p/2,(y1+y2)/2 )
（1）证∠CFD是直角.
设AB 的方程为x=my+p/2,代入y²=2px,得
y²-2pmy-p² =0,
所以　y1y2=-p²
向量CF=(p,-y1),DF=(p,-y2),
CF•DF=p²+y1y2=0,所以CF⊥DF
（2）证EF⊥AB
向量EF=(p,-(y1+y2)/2 ),AB=(x2-x1,y2-y1)
EF•AB=p(x2-x1)-(y2²-y1²)/2=p(x2-x1)-(2px2-2px1)/2=0
所以EF⊥AB
由于EF 是以CD 为直径的圆的半径,从而AB与圆切于点F.

证明：抛物线性质：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等
所以：AC=AF=1/2CD=1/2AB
设CD与X轴交与点E
那么：EF垂直于AB且EF=1/2CD
所以，以CD为直径的圆和AB相切，且切点是F

设直线AB y=k(x-p/2) F(p/2,0)
A(x1,y1) B(x2,y2)
C(-p/2,y1) D(-p/2,y2)
kFC=y1/p kFD=y2/p
联立
y^2=2px
x=y/k+p/2 消x得
y^2-2py/k-p=0
y1y2=-p
kFC* kFD=(y1y2)/...

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设直线AB y=k(x-p/2) F(p/2,0)
A(x1,y1) B(x2,y2)
C(-p/2,y1) D(-p/2,y2)
kFC=y1/p kFD=y2/p
联立
y^2=2px
x=y/k+p/2 消x得
y^2-2py/k-p=0
y1y2=-p
kFC* kFD=(y1y2)/p=-1
所以直线FC⊥FD
所以三角形FCD为直角三角形
CD为斜边
所以CD为直径的圆经过点F
取CD中点M，连接MF，MA，CF
在三角形AMC和AMF中
AC=AF MC=MF AM=AM
三角形AMC和AMF全等
∠ACM=∠AFM=90°
所以MF⊥AB
所以 以CD为直径的圆切AB于点F

收起

因为AF＝AC、BF＝BD
所以角AFC＝角ACF、角BFC＝角BDF
角ACD＝角BDC＝90度、角AFB＝180度
所以角CFD＝90度
所以。。。

：如图，由抛物线定义可知AA1=AF，故∠1=∠2，

又∵AA1∥x轴，

∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6，

∴∠CFD=∠3+∠6=1/2 ×π=π/2 ，

所以三角形CFD为直角三角形

所以以CD为直径的圆切AB于点F