求自然数n使4n²+5n的完全平方数 答得好的

求自然数n使4n²+5n的完全平方数 答得好的
求自然数n使4n²+5n的完全平方数 答得好的

求自然数n使4n²+5n的完全平方数 答得好的
自然数n使4n²+5n的完全平方数,则
4n²+5n＝(2n+a)^2=4n^2+4an+a^2
因此5n=4an+a^2
整理得
n=a^2/(5-4a)
因此,a=0,n=0,a=1,n=1
除此之外无解了.

N=1

因为 n是自然数,
所以 n>=0.
所以 (2n)^2 =4n^2 <= 4n^2 +5n,
且 (2n+2)^2 =4n^2 +8n +4
>4n^2 +5n,

所以 4n^2 +5n =(2n)^2,
...

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因为 n是自然数,
所以 n>=0.
所以 (2n)^2 =4n^2 <= 4n^2 +5n,
且 (2n+2)^2 =4n^2 +8n +4
>4n^2 +5n,

所以 4n^2 +5n =(2n)^2,
或 4n^2 +5n =(2n+1)^2.
(1) 若 4n^2 +5n =(2n)^2,
解得 n=0.

(2) 若 4n^2 +5n =(2n+1)^2,
解得 n=1.
综上, n=0 或 n=1.
= = = = = = = = =
利用放缩法。

收起

设4n²＋5n=p²，∴4n²＋5n－p²=0，∴由根的判别式Δ=5²＋4×4p²一定是某数的平方，∴设5²＋﹙4p﹚²=q²，其中p，q都是自然数，∴由与5组成的勾股数得：4p=12，q=13，∴p=3，∴Δ=13²，∴n=﹙－5＋13﹚／﹙2×4﹚=1