已知A(2,3,1)B（-1,2,-3）,点P在y轴上,求 | PA | ^2+| PB| ^2最小值及此时P的坐标.速度!谢啦
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:48:19
已知A(2,3,1)B（-1,2,-3）,点P在y轴上,求 | PA | ^2+| PB| ^2最小值及此时P的坐标.速度!谢啦
已知A(2,3,1)B（-1,2,-3）,点P在y轴上,求 | PA | ^2+| PB| ^2最小值及此时P的坐标.
速度!
谢啦
已知A(2,3,1)B（-1,2,-3）,点P在y轴上,求 | PA | ^2+| PB| ^2最小值及此时P的坐标.速度!谢啦
设P(0.y,0)
|PA|^2+|PB|^2
=2^2+(y-3)^2+1^2+1^2+(y-2)^2+3^2
=2y^2-10y+28
=2(y^2-5y+25/4)^2+28-25/2
=2(y-5/2)^2+31/2
≥31/2
所以|PA|^2+|PB|^2的最小值为31/2
这时P的坐标是(0,5/2,0)
设点P(0,Y,0)
表示出 | PA | ^2+| PB| ^2
只有一个未知数
不难解出
| PA | ^2=2^2+(3-Y)^+1^2
| PB| ^2=(-1)^2+(2-y)^2+(-3)^2
| PA | ^2+| PB| ^2=2Y^2-10Y+28
f(Y)=2Y^2-10Y+28
当Y=5/2时有最小值为31/2
在三角形PAB（可能是一条直线，不过也满足）中
由余弦定理有
PA2+PB2-2PA*PBcosAPB=AB2
即PA2+PB2=2PA*PBcosAPB+AB2
AB2是定值，AB2=26
即求出PA*PBcosAPB的最小值就行。
而PA*PBcosAPB=PA(向量）*PB（向量）
设P（x,y,z)
PA(向量...
全部展开
在三角形PAB（可能是一条直线，不过也满足）中
由余弦定理有
PA2+PB2-2PA*PBcosAPB=AB2
即PA2+PB2=2PA*PBcosAPB+AB2
AB2是定值，AB2=26
即求出PA*PBcosAPB的最小值就行。
而PA*PBcosAPB=PA(向量）*PB（向量）
设P（x,y,z)
PA(向量）=(x-2,y-3,z-1)
PB(向量）=(x+1,y-2,z+3)
PA(向量）*PB（向量）=(x-2)(x+1)+(y-3)(y-2)+(z-1)(z+3)
=x2-x+y2-5y+z2+2z+1
再来配方，得
PA(向量）*PB（向量)=(x-0.5)2+(y-2.5)2+(z+1)2-6.5
当x=0.5,y=2.5,z=-1时，
取最小值
PA(向量）*PB（向量)=-6.5
| PA | ^2+| PB| ^2=-6.5+26=19.5
故最小值为19.5
注明：郁闷！看错题了，我没看到P在y轴上。
收起
1