抛物线y^2=2px(p>0)的动弦AB长为a（a≧2p）,则弦AB的中点M到y轴的最短距离为? 答案为（a－p）／2

抛物线y^2=2px(p>0)的动弦AB长为a（a≧2p）,则弦AB的中点M到y轴的最短距离为? 答案为（a－p）／2
抛物线y^2=2px(p>0)的动弦AB长为a（a≧2p）,则弦AB的中点M到y轴的最短距离为? 答案为（a－p）／2

抛物线y^2=2px(p>0)的动弦AB长为a（a≧2p）,则弦AB的中点M到y轴的最短距离为? 答案为（a－p）／2
解析:
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(xo,yo)
则 x1+x2=2xo,y1+y2=2yo
(1) 当AB斜率不存在时,不难得到xo=a^2/(8p)
(2) A,B在曲线上有y1^2=2px1,y2^2=2px2
当AB斜率存在时,两式相减得
K(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)=p/yo
那么AB直线方程可设为:
y=(p/yo)(x-xo)+yo,联立y^2=2px消去x整理有
y^2-2yoy+2yo^2-2pxo=0
则　y1y2=2yo^2-2pxo
又4x1x2=(y1y2)^2/p^2=4(yo^2-pxo)^2/p^2
由弦长公式AB=sqrt{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]}
=sqrt{(1+p^2/yo^2)[4xo^2-4(yo^2-pxo)^2/p^2]}=a
化简得a^2p^2=4(yo^2+p^2)(2pxo-yo^2)=ap
解得:xo>=(a-p)/2
再注意到a^2/(8p)-(a-p)/2=(a-2p)^2/(8p)>=0,(a>=2p)
从而得到min{xo}=(a-p)/2,即为所有结果.
注记:本题综合运用了点差法,直线与曲线关系,弦长公式,不等式基本性质（消参）,分类讨论思想,可以说是一道罕见的不可多得的好题,今日能为楼主大人解答诸如此类的好题,我辈实属荣幸,诚望楼主笑纳.