如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 19:42:28
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...
E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
分析：（I）先由已知建立空间直角坐标系,设D（
2,b,0）,从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC⊥BE,PC⊥DE,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；
（II）先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角（I）以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A-xyz,
设D（2,b,0）,则C（22,0,0）,P（0,0,2）,E（4
23,0,23）,B（2,-b,0）
∴PC=（22,0,-2）,BE=（23,b,23）,DE=（23,-b,23）
∴PC•BE=43-43=0,PC•DE=0
∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）AP=（0,0,2）,AB=（2,-b,0）
设平面PAB的法向量为m=（x,y,z）,则m•
AP=2z=0m•
AB=
2x-by=0
取m=（b,2,0）
设平面PBC的法向量为n=（p,q,r）,则n•
PC=2
2p-2r=0n•
BE=
23p+bq+
23r=0
取n=（1,-2b,2）
∵平面PAB⊥平面PBC,∴m•n=b-2b=0．故b=2
∴n=（1,-1,2）,DP=（-2,-2,2）
∴cos＜DP,n＞=n•
DP|
n|•|
DP |=12
设PD与平面PBC所成角为θ,则sinθ=12
∴θ=30°
建系吧，以AP为X轴，AC为X轴，AD为Y轴，利用二面角为90度，求B点的坐标，再求成角就行了
过C作CF平行且等于BP，连接PF、DF，过D作DG⊥CF于G，连接PG ∵CD平行且等于AB ∴面CDF平行面BAP ∴DG⊥面BCFP 又∵DG⊥PG ∴角DPG为所求的 又∵AD²+AP²+AD²=AP²+AC² ∴AD=2 ∴DP=2根号2，DG=0.5CF=0.5DP=根号2 ∴角DPG=30°