计算∬(1-x^2-y^2 )dσ,其中D是由y=x,y=0,x^2+y^2=1在第一象限内所围成的区域(求过程)

计算∬(1-x^2-y^2 )dσ,其中D是由y=x,y=0,x^2+y^2=1在第一象限内所围成的区域(求过程)
计算∬(1-x^2-y^2 )dσ,其中D是由y=x,y=0,x^2+y^2=1在第一象限内所围成的区域(求过程)

计算∬(1-x^2-y^2 )dσ,其中D是由y=x,y=0,x^2+y^2=1在第一象限内所围成的区域(求过程)
转换到极坐标系
积分域为D:0≤r≤1,0≤θ≤π/4
∬D (1-x²-y² )dσ
=∬D (1-r²)rdrdθ
=∫(0,π/4)dθ∫(0,1)(1-r²)rdr
=(π/8) ∫(0,1)(1-r²)d(r²)
=(π/8)[r²-(r²)²/2]|(0,1)
=π/16