如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证EF‖平面AA1B1B若AA1=3,AB=2√3,求异面直线EF与AB所成的角
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 19:38:14
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证EF‖平面AA1B1B若AA1=3,AB=2√3,求异面直线EF与AB所成的角
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证EF‖平面AA1B1B
若AA1=3,AB=2√3,求异面直线EF与AB所成的角
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证EF‖平面AA1B1B若AA1=3,AB=2√3,求异面直线EF与AB所成的角
(1)设AB的中点为G,连结A1G、FG.
FG是三角形ABC的中位线,即FG//AC,且FG=AC/2.
由点E是A1C1中点及直三棱柱性质可知,A1E//AC,且A1E=AC/2.
所以,FG//A1E,且FG=A1E.
因此,四边形A1EFG是平行四边形,即EF//A1G.
因为A1G在平面AA1B1B内,EF不在平面AA1B1B内.
所以EF//平面AA1B1B.
(2)设AC的中点为H,连结EH、FH.
FH是三角形ABC的中位线,即FH//AB,且FH=AB/2=√3.
所以,异面直线EF与AB所成角为EFH.
在直角三角形EFH中,EH=AA1=3.
tan角EFH=EH/FH=3/√3=√3.
所以角EFH、即异面直线EF与AB所成角为60度.
取A1B1的中点G，连接EG；做GH⊥AB，垂足为H，连接GB。
在四边形BFEG中，EG=B1C1/2=BC/2=FB，EG//FB
所以四边形BFEG是平行四边形，所以FE//BG，所以EF平行平面AA1B1B。
由于EF//BG，所以EF和AB的夹角等于BG和AB的夹角，设此夹角为θ。显然，三角形GHB为直角三角形，所以：tanθ=GH/HB；
因为G为A1B...
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取A1B1的中点G，连接EG；做GH⊥AB，垂足为H，连接GB。
在四边形BFEG中，EG=B1C1/2=BC/2=FB，EG//FB
所以四边形BFEG是平行四边形，所以FE//BG，所以EF平行平面AA1B1B。
由于EF//BG，所以EF和AB的夹角等于BG和AB的夹角，设此夹角为θ。显然，三角形GHB为直角三角形，所以：tanθ=GH/HB；
因为G为A1B1的中点，所以H点是AB的中点，所以HB=AB/2，所以：
tanθ=GH/HB=2AA1/AB=2×3/(2√3)=√3
所以：θ=60°
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