已知a,b,c为实数,且满足a²+b²+c²=9,求 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²的最大值?注意，当a²=b²=1.5,c²=6，且a=b

已知a,b,c为实数,且满足a²+b²+c²=9,求 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²的最大值?注意，当a²=b²=1.5,c²=6，且a=b
已知a,b,c为实数,且满足a²+b²+c²=9,求 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²的最大值?
注意，当a²=b²=1.5,c²=6，且a=b

已知a,b,c为实数,且满足a²+b²+c²=9,求 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²的最大值?注意，当a²=b²=1.5,c²=6，且a=b
因为 (a+b+c)²≥0,当a+b+c=0时,等号成立
又,(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥0,
所以 2(ab+bc+ac)≥-(a²+b²+c²)=-9
所以 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）=18-2（ab+bc+ca）≤18+9=27

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+a²-2ac
=2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ac)
=18-2(ab+bc+ac)
当ab+bc+ac=0时，有最大值18。

因为 (a+b)²+(b+c)²+(c+a)²≥0
即 2（a²+b²+c²）+2（ab+bc+ca）≥0
又因为a²+b²+c²=9
所以 ab+bc+ca≥-9
所以 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）=18-2（ab+bc+ca）≤18+18=36

因为 (a+b+c)²≥0，当a+b+c=0时，等号成立
又，(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥0,
所以 2(ab+bc+ac)≥-(a²+b²+c²)=-9

所以 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）=18-2（ab+bc+ca）≤18+9=27