设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系

设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系
设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1
证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系

设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β3=V1+V2+V4,β4=V1+V2+V3也方程组AX=0的一个基础解系
由题意,首先,β1,β2,β3,β4也是方程AX=0的解,所以只需证明它们不线性相关即可,
设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0
--->V1(k2+k3+k4)+V2(k1+k3+k4)+V3(k1+k2+k4)+V4(k1+k2+k3)=0
因为V1,V2,V3,V4是AX=0的基础解系,所以它们相互独立,所以
---->k1+k2+k3=0
k1+k2+k4=0
k1+k3+k4=0
k2+k3+k4=0
它即为方程组(1 1 1 0)(k1 k2 k3 k4)T(表示转置)=0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 0 1 1
的解,因为上面的矩阵的行列式≠0,所以它只有零解,
所以k1=k2=k3=k4=0---->β1,β2,β3,β4相互独立,所以它们也是方程组AX=0的一个基础解系.

证明β1,β2,β3,β4与V1,V2,V3,V4等价即可。
注意到行列式
0 1 1 1
1 0 1 1 不等于零，所以两个向量组等价
1 1 0 1
1 1 1 0