由倍角公式cos2x=2cos²x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式对于cos3x,我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos²-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx=4cos³-3cosx.可

由倍角公式cos2x=2cos²x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式对于cos3x,我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos²-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx=4cos³-3cosx.可
由倍角公式cos2x=2cos²x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式对于cos3x,我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos²-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx=4cos³-3cosx.可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般的,存在一个n次多项式Pn（t）,使得cosnx=Pn（cosx）,这些多项式Pn（t）称为切比雪大多项式
①求证；sin3x=3sinx-4sin³x
②请求出P4（t）,即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x
③利用结论cos3x=4cos³x-3cosx,求出sin18°的值

由倍角公式cos2x=2cos²x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式对于cos3x,我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos²-1）cosx-2（sinxcosx）sinx=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx=4cos³-3cosx.可
①求证；sin3x=3sinx-4sin³x
证明：有两角和的正弦公式sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa及二倍角公式cos2x=1-2sin²x,sin2x=2sinxcosx,知sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+sinxcos2x=2sinxcos²x+sinx(1-2sin²x)=2sinx(1-sin²x)+sinx(1-2sin²x)=3sinx-4sin³x得证
②请求出P4（t）,即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x
两次运用倍角公式cos2x=2cos²x-1,
可知cos4x=2cos²(2x)-1=2(2cos²x-1)^2-1=8(cosx)^4-8cos²x+1