如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD的中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(1)求证;AG⊥平面PCD(2)求证;AG∥平面PEC(3)求G点到平面PEC的距离
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/25 19:48:28
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD的中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(1)求证;AG⊥平面PCD(2)求证;AG∥平面PEC(3)求G点到平面PEC的距离
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD的中点,
E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(1)求证;AG⊥平面PCD(2)求证;AG∥平面PEC(3)求G点到平面PEC的距离
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD的中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.(1)求证;AG⊥平面PCD(2)求证;AG∥平面PEC(3)求G点到平面PEC的距离
取坐标系A﹙0,0,0﹚,B﹙4,0,0﹚ D﹙0,4,0﹚,P﹙0,0,4﹚G﹙0,2,2﹚
设E﹙a.0,0﹚ 平面PEC法向量n1=﹛4,a-4,a﹜,平面PDC法向量n2=﹛0,1,1﹜
∵平面PEC⊥平面PDC ∴n1•n2=a-4+a=0 a=2 E是AB的中点.
⑴ AG=﹛0,2,2﹜ n2=﹛0,1,1﹜ AG∥n2 ∴AG⊥平面PCD
⑵ n1=﹛4,-2,2﹚ AG•n1=-4+4=0 AG⊥n1 ∴AG∥平面PEC
⑶ 平面PEC的法式方程:﹙2x-y+z-4﹚/√6=0
G﹙0,2,2﹚到平面PEC的距离=|2×0-2+2-4|/√6=2√6/3
1.∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AG∈平面PAD
∴CD⊥AG
∵AD=AB=PA,G是PD中点
∴AG⊥PD
又CD∩PD=平面PCD
∴AG⊥平面PCD
2.∵AG⊥平面PCD(已证)
平面PEC⊥平面PCD
...
全部展开
1.∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AG∈平面PAD
∴CD⊥AG
∵AD=AB=PA,G是PD中点
∴AG⊥PD
又CD∩PD=平面PCD
∴AG⊥平面PCD
2.∵AG⊥平面PCD(已证)
平面PEC⊥平面PCD
又AG∉平面PEC
∴AG∥平面PEC
3.作GF⊥PC于F
∵平面PCD∩平面PEC=PC
∴GF⊥平面PEC
∴GF就是G到平面PEC的距离
△PGF∽△PCD
PD=4√2,CD=4
∴PC=4√3
PG=2√2
GF:CD=PG:PC
∴GF=2√6/3
收起