已知如图,在菱形ABCD中,CO⊥BD,垂足为点O,E为BC上一点,F为AD延长线上一点,EF交CD于点G,EG=FG=DG,连接OE、OF．（1）若DG=5,OC=8,求BD的长；（2）求证：∠OFG=90-1/2∠BEF

已知如图,在菱形ABCD中,CO⊥BD,垂足为点O,E为BC上一点,F为AD延长线上一点,EF交CD于点G,EG=FG=DG,连接OE、OF．（1）若DG=5,OC=8,求BD的长；（2）求证：∠OFG=90-1/2∠BEF
已知如图,在菱形ABCD中,CO⊥BD,垂足为点O,E为BC上一点,F为AD延长线上一点,EF交CD于点G,EG=FG=DG,连接OE、OF．（1）若DG=5,OC=8,求BD的长；（2）求证：∠OFG=90-1/2
∠BEF

  

已知如图,在菱形ABCD中,CO⊥BD,垂足为点O,E为BC上一点,F为AD延长线上一点,EF交CD于点G,EG=FG=DG,连接OE、OF．（1）若DG=5,OC=8,求BD的长；（2）求证：∠OFG=90-1/2∠BEF
在菱形ABCD中 因为 DG=GE=FG（已知） 所以 AF平行BC 〈DFE=〈CEF 〈FDC=〈ECD
所以 DFG全等CEG（AAS）DG=CG,F=GE,DC=2DG=10=2FG=FE
因为CO垂直DB,OC=8（...）
所以三COD是直角三角形,DO=根号DC2-OC2=根号10?10-8?8=同丧100-64=6
可以
因：菱形对角线平分且垂直,所以DO=BO BD=2DO=12
也可以：
BC=DC,三DBC是等腰...CO平分DB（等腰的.合一）DO=BO,OC=OC
DOC全等BOC（SSS）DO=BO,DB=2BO=12
（2）连接OG,由（1）得：点O点G分别是DB,DC的中点,所以 OG是BC的中位线,OG=BC除2=5,OG=GF=GE,所以〈OFG=〈FOG,〈OEG=〈EOG.

因：F//BC
所：∠GEF=∠GFD
因：∠GCE=∠GDF（对角相等） EG=FG=DG
所：三角形GFD 相似全等 三角形GEC
所：EG=FG=DG=GC=5
所： CD=CG+GD=5+5=10
因：ABCD为菱形
所：AD=AB=CD=CB ∠OBC=ODC
因：CO⊥BD
所：∠DOC=∠BOC=90度

全部展开

因：F//BC
所：∠GEF=∠GFD
因：∠GCE=∠GDF（对角相等） EG=FG=DG
所：三角形GFD 相似全等 三角形GEC
所：EG=FG=DG=GC=5
所： CD=CG+GD=5+5=10
因：ABCD为菱形
所：AD=AB=CD=CB ∠OBC=ODC
因：CO⊥BD
所：∠DOC=∠BOC=90度
因： ∠OCB+∠COB+∠CBO=180度=∠OCB+∠COD+∠CDO ∠OBC=ODC
所：∠OCB=∠OCB
因：∠OCB=∠OCB ∠DOC=∠BOC=90度 OC=OC （角边角）
三角形COB 相似全等 三角形COD
所：OD=OB
所：OD*OD=CD*CD-OC*OC（勾..定理）
OD*OD=10*10-8*8
OD*OD=36
OD=6
所：BD=OB+OD=6+6=12
（2）连接OG
OG=1/2BC=1/2DC=GF
所：三角形OFG为等腰三角形
所：∠GOF=∠GFO 000
因：OG//BC//AD
所：∠GOF=∠OFA ∠GOC=∠BCO
因：∠OFA=∠OFG ∠DCO=∠BCO
所：1/2∠EFA=∠OFG 1/2∠BCD=∠OCG
由（1）得： ∠EFA=∠BCD
所：∠OFG=∠OCG=∠BCO
因AD//BC
所：AF//BE
因:AB=CD=1/2EG=1/2CG=CD
所：ABEF为等腰梯形
所：∠ABE=∠BEF
因：BD为菱形ABCD的对角线
所：1/2∠ABE=∠DBC==∠OBC=1/2∠BEF
因：在三角形BCO中∠BOC+∠OBC+∠BCO=180度 ∠BOC=90度
所：90度∠BOC+∠OBC+∠BCO=180度
∠OBC+∠BCO=90度
因：∠OBC=1/2∠BEF ∠OFG=∠OCG=∠BCO
所：1/2∠BEF+∠OFG=90度
所：∠OFG=90度-1/2∠BEF

收起

1：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠FEC
∵FG=EG(已知)
∠DGF=∠EGC(对顶角相等)
∠AFE=∠FEC
∴△DFG=△GEC
∴DG=CG
∵DG=5
∴DC=DG+GC=5+5=10=BC
∵OB=BC平方-OC平方
OBFANG=10FANG-8FANG=100-64=36
OB=根号36=6

（1）DF//EC，EG=FG
三角形EGC和DGF全等
所以 G为DC的中点，
得出 DG=GC=EG=FG=5；
在直角三角形ODC中：
DC=10，OC=8
求出OD=6
因为ABCD是菱形，CO⊥BD，所以O是BD中点
从而BD=12
（2）连接OG
OG=1/2BC=1/2DC=GF

全部展开

（1）DF//EC，EG=FG
三角形EGC和DGF全等
所以 G为DC的中点，
得出 DG=GC=EG=FG=5；
在直角三角形ODC中：
DC=10，OC=8
求出OD=6
因为ABCD是菱形，CO⊥BD，所以O是BD中点
从而BD=12
（2）连接OG
OG=1/2BC=1/2DC=GF
在三角形OFG中：角GOF=GFO
又因为OG//BC//AB
所以角GOF=OFA
由此角OFA=OFG
1/2∠EFA=∠OFG
EF=DG=AB;四边形ABEF为等腰梯形，∠EFA=∠BEF
得证

收起