高数题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 07:30:43
高数题高数题 高数题题目输入有误吧?按照以下题目来解.题目：f（x）=e^x,x≤0；f（x）=x,x>0,【f（x）是分段函数】F（x）=∫（-1到x）f（t）dt,证明F（x）在x=0处
高数题
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高数题
题目输入有误吧?
按照以下题目来解.
题目：f（x）=e^x,x≤0；
f（x）=x, x>0,【f（x）是分段函数】
F（x）=∫（-1到x）f（t）dt,证明F（x）在x=0处连续但不可导.
证明：先求出F（x）如下：
F（x）=∫（-1到x）e^tdt=e^x-（1/e）, x≤0；
F（x）=∫（-1到0）e^tdt+∫（0到x）tdt=1-（1/e）+0.5x^2,x>0,【F（x）也是分段函数】
以下讨论F（x）在分段点x=0处的连续性：
F（0）=1-（1/e）,
当x从左侧趋于0时,F（x）趋于1-（1/e）,
当x从右侧趋于0时,F（x）趋于1-（1/e）,
则F（x）的极限=1-（1/e）=F（0）,所以F（x）在x=0处连续.
以下讨论F（x）在分段点x=0处的可导性：
F（x）在x=0处的左导数=lim（x从左侧趋于0）【F（x）-F（0）】/【x-0】
=lim（x从左侧趋于0）【e^x-（1/e）-1+（1/e）】/x
=lim（x从左侧趋于0）【e^x-1】/x=1,
F（x）在x=0处的右导数=lim（x从右侧趋于0）【F（x）-F（0）】/【x-0】
=lim（x从右侧趋于0）【1-（1/e）+0.5x^2-1+（1/e）】/x
=lim（x从右侧趋于0）【x/2】=0,
因为左导数≠右导数,所以F（x）在x=0处不可导. 证毕.