当X属于（0,1)时,求证e^(2x) < (1+x)/(1-x)

当X属于（0,1)时,求证e^(2x) < (1+x)/(1-x)
当X属于（0,1)时,求证e^(2x) < (1+x)/(1-x)

当X属于（0,1)时,求证e^(2x) < (1+x)/(1-x)
将e^(2x)用泰勒展开得到1+2x+4/2(x^2)+8/6(x^3)+16/24(x^4).注意到分母比分子增长快的多,因而8/6(x^3)<12/6(x^3),16/24<48/24,以此类推,因而e^(2x)<1+2x+2x^2+2x^3+2x^4+...因为从第三项开始本式都比泰勒展开式来的大,本式成立,进而用等比数列求和得到1+2x(1-x^无穷)/(1-x)因为题目里有0

令f(x)=(1-x)e^(2x) - (1+x)
f‘(x)= -e^(2x)+2(1-x)e^(2x) -1
=e^(2x)-2xe^(2x)-1
f''(x) = -4xe^(2x)<0
所以f'(x)是减函数
f'(x)所以f(x)单减
f(x)(1-x)e^(2x) - (1+x)<0
e^(2x) < (1+x)/(1-x)