已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(-x)+f(x)的值.（2）若f(-3)=a,用a表示f(12）

已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(-x)+f(x)的值.（2）若f(-3)=a,用a表示f(12）
已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(-x)+f(x)的值.（2）若f(-3)=a,用a表示f(12）

已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(-x)+f(x)的值.（2）若f(-3)=a,用a表示f(12）
函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0,则：f(0+0)=f(0)+f(0),得：f(0)=0
令y=-x,则： f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(x)+f(-x)=f(0)=0
由上式得：f(-x)=-f(x)
f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a

令 x = y = 0
所以 f(0+0) = f(0) + f(0)
即 f(0) = 0
令 y = -x
所以 f(x - x) = f(x) + f(-x)
即 0 = f(x) + f(-x)
由上小题可知
f(-x) = -f(x)
所以 f(-3) = -f(3...

全部展开

令 x = y = 0
所以 f(0+0) = f(0) + f(0)
即 f(0) = 0
令 y = -x
所以 f(x - x) = f(x) + f(-x)
即 0 = f(x) + f(-x)
由上小题可知
f(-x) = -f(x)
所以 f(-3) = -f(3) = a
即 f(3) = -a
又因为 f(12) = f(6) + f(6)
= 2[f(3) + f(3)]
= 4f(3)
= -4a

收起

(1) y=0时，f(x+0)=f(x)+f(0) 则f(0)=0
y=-x时 f(x-x)=f(x)+f(-x)
所以f(x)+f(-x)=f(0)=0
(2) f(-3)=a
由(1) f(3)+f(-3)=0
所以f(3)=-a
f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)
=2f(3+3)=2[f(3)+f(3)]
=4f(3)
=-4a

由于f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(-x)+f(x）=f（-x+x）=f（0）。而f（0）=f（0+0)=2f
(0),所以f（0）=0.故有f(-x)+f(x）=0
由上有f（3）=-a，所以有f(x+y+m+n)=f(x)+f(y）+f(m)+f(n）所以f(12）=4f（3）=-4a