设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角,A,B,C所对的边.则a的平方=b(b+c)是A=2B的什么条件?A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 04:32:08
设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角,A,B,C所对的边.则a的平方=b(b+c)是A=2B的什么条件?A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要
设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角,A,B,C所对的边.则a的平方=b(b+c)是A=2B的什么条件?
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要
设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角,A,B,C所对的边.则a的平方=b(b+c)是A=2B的什么条件?A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要
应选A,充要条件.
1、充分性,设已知a^2=b(b+c)
延长CA至E,使AE=AB,连结BE,EC=b+c,<ACB=<ECB,a/(b+c)=b/a,△BCA∽△ECB
<E=<ABC,<BAC=<E+<ABE,三角形EBA为等腰三角形,<E=<EBA,BAC=2<ABC,这是充分性.
2、必要性
设已知<A=2<B
同样,延长CA至E,使AE=AB,连结BE,
<BAC=<E+<ABE,EA=BA,三角形EBA为等腰三角形,<E=<ABC,<BAC=2<E=2<ABC,<ABC=<E,<ACB=<BCE,
△BCA∽△ECB
BC/EC=AC/BC,BC^2=EC*AC,EC=AB+AC
∴a^2=b(b+c)
证毕.
A,好像是考纲上的
充分性
a^2=b(b+c)
a^2=b^2+bc
b^2+c^2-a^2=-bc+c^2
cosA=-1/2+0.5(c/b)
cosA=-1/2+0.5(sinC/sinB)
2sinBcosA=-sinB+sin(A+B)
sinB=sinAcosB-sinBcosA
sinB=sin(A-B)
全部展开
A,好像是考纲上的
充分性
a^2=b(b+c)
a^2=b^2+bc
b^2+c^2-a^2=-bc+c^2
cosA=-1/2+0.5(c/b)
cosA=-1/2+0.5(sinC/sinB)
2sinBcosA=-sinB+sin(A+B)
sinB=sinAcosB-sinBcosA
sinB=sin(A-B)
所以B=A-B或者B+A-B=π
B+A-B=π不可能
所以A=2B
必要性
由A=2B
∴sinA=sin2B
sinBcosC+sinCcosB=2sinBcosB
bcosC+ccosB=2bcosB
这里是射影公式bcosC+ccosB=a
a=2bcosB
a=2b[(a^2+c^2-b^2)/2ac]
a^2c=ba^2+bc^2-b^3
a^2(c-b)=bc^2-b^3
a^2=b(b+c)
还不懂问我哈
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df
①充分性：p推出q
∵A=2B
a/sinA=b/sinB
∴a/sin2B=b/sinB
a/2sinBcosB=b/sinB
a=b·2cosB
=b·2·【(a^2+c^2-b^2)/2ac】
a^2·c=a^2·b+b(c^2-b^2)
∴a^2=b(b+c)
②必要性：q推出p
∵a^2=b(b+c)
全部展开
①充分性：p推出q
∵A=2B
a/sinA=b/sinB
∴a/sin2B=b/sinB
a/2sinBcosB=b/sinB
a=b·2cosB
=b·2·【(a^2+c^2-b^2)/2ac】
a^2·c=a^2·b+b(c^2-b^2)
∴a^2=b(b+c)
②必要性：q推出p
∵a^2=b(b+c)
∴b^2+c^2-2bcosA=b^2+bc
c-2bcosA=b
sinC-2sinBcosA=sinB
sin(A+B)-2sinBcosA=sinB
sinAcosB-sinBcosA=sinB
sin(A-B)=sinB
A-B=B 或 A-B+B=π(舍）
∴A=2B
综上，为充要条件。
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