如图,在Rt三角形ABC中,斜边BC=12,角C=30,D为BC的中点,三角形ABD的外接圆圆O与AC交于F点,过A作圆O的切线AE交DF的延长线于E点(1)求证:AE垂直于DE(2)计算:AC*AF的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 15:08:37
如图,在Rt三角形ABC中,斜边BC=12,角C=30,D为BC的中点,三角形ABD的外接圆圆O与AC交于F点,过A作圆O的切线AE交DF的延长线于E点(1)求证:AE垂直于DE(2)计算:AC*AF的值
如图,在Rt三角形ABC中,斜边BC=12,角C=30,D为BC的中点,三角形ABD的外接圆圆O与AC交于F点,过A作圆O的切线AE交DF的延长线于E点
(1)求证:AE垂直于DE
(2)计算:AC*AF的值
如图,在Rt三角形ABC中,斜边BC=12,角C=30,D为BC的中点,三角形ABD的外接圆圆O与AC交于F点,过A作圆O的切线AE交DF的延长线于E点(1)求证:AE垂直于DE(2)计算:AC*AF的值
证明：
（1）在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,D为BC的中点,
∴∠ABD=60°,AD=BD=DC．
∴△ABD为等边三角形．
∴O点为△ABD的中心（内心,外心,垂心三心合-）．
连接OA,OB,∠BAO=∠OAD=30°,
∴∠OAC=60°．（3分）
又∵AE为⊙O的切线,
∴OA⊥AE,∠OAE=90°．
∴∠EAF=30．
∴AE‖BC．
又∵四边形ABDF内接于圆O,
∴∠FDC=∠BAC=90°．
∴∠AEF=∠FDC=90°,即AE⊥DE．
（2）由（1）知,△ABD为等边三角形,
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°,∠FAD=∠DAC．
∴△ADF∽△ACD,则AD/AC=AF/AD
∴AD2=AC•AF,又AD=1/2BC=6．
∴AC•AF=36．
因为RtABC且角C为30，所以ABD为正三角型，所以AE平行于BC，因为ABDF共圆且角b为直角，所以DE垂直BC，所以DE垂直于AE。
第二问AC
连BF OA 因为三角形ABC为RT三角形则可以证明三角形BFD全等于三角形FDC则角FBC是30度则
角abf是30度等于角EAC又因为角FDC等于角BAC等于90度则角AEF等于60度则AE垂直于DE。
连OF 三角形AOF是正三角形AF等于半径又因为BC是12 则AB是6 AC是6倍的根号三
又因为可列方程求出半径为2倍的根号三 则AC乘以AF是36...
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连BF OA 因为三角形ABC为RT三角形则可以证明三角形BFD全等于三角形FDC则角FBC是30度则
角abf是30度等于角EAC又因为角FDC等于角BAC等于90度则角AEF等于60度则AE垂直于DE。
连OF 三角形AOF是正三角形AF等于半径又因为BC是12 则AB是6 AC是6倍的根号三
又因为可列方程求出半径为2倍的根号三 则AC乘以AF是36
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