已知x1 x2 是关于方程x²-6x+k＝0的两个实数根,且x1²x2²-x1-x2＝115.求k的值,再求x1²+x2²+8的值

已知x1 x2 是关于方程x²-6x+k＝0的两个实数根,且x1²x2²-x1-x2＝115.求k的值,再求x1²+x2²+8的值
已知x1 x2 是关于方程x²-6x+k＝0的两个实数根,且x1²x2²-x1-x2＝115.
求k的值,再求x1²+x2²+8的值

已知x1 x2 是关于方程x²-6x+k＝0的两个实数根,且x1²x2²-x1-x2＝115.求k的值,再求x1²+x2²+8的值
解析
原式：（x1x2)²-(x1+x2)=115
根据韦达定理x1x2=c/a=k
x1+x2=-b/a=6
所以：（x1x2)²-(x1+x2)=115
k²-6=115
k=11或-11
（2）x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2+8
=36-2k
=36-22+8
=14+8
=22
或36+22+8
=66

解
x1，x2是方程两根
由韦达定理
x1+x2=6
x1x2=k
∵x1²x2²-x1-x2=115
∴k²-6=115
∴k=121
∴k=±11
当k=11时
方程x²-6x+11=0
△=b²-4ac=36-44<0
无解
当k=-11时
∴x1²+x2²+8
=(x1+x2)²-2x1x2+8
=36+22+8
=66

x1 x2 是关于方程x²-6x+k＝0的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系得
x1+x2=6
x1x2=k
又
x1²x2²-x1-x2＝115
k^2-6=115
k^2=121
k=±11
x1²+x2²+8
=(x1+x2)^2-2x1x2+8
=36-2x1x2+8
当k=11时得22
当k=-11时得66