已知ad≠bc,求证﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²

已知ad≠bc,求证﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²
已知ad≠bc,求证﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²

已知ad≠bc,求证﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²
此为柯西不等式
(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
>(ac+bd)^2

用作差比较法：
﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚-﹙ac＋bd﹚²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-b²d²-2abcd
=a²d²+b²c²-2ab...

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用作差比较法：
﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚-﹙ac＋bd﹚²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-b²d²-2abcd
=a²d²+b²c²-2abcd
=(ad-bc)²>=0
ad≠bc
所以﹙a²＋b²﹚﹙c²＋d²﹚＞﹙ac＋bd﹚²

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