已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:36:02
已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围已知函数f(x)对一切x,y属于

已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围
已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0
①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围

已知函数f(x)对一切x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).,f(3\1)=1,且当x>0时,f(x)>0①如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围
解由f(x+y)=f(x)+f(y).,
取y=0
即f(x+0)=f(x)+f(0).,
即f(x)=f(x)+f(0).,
即f(0)=f(x)-f(x)=0
由f(0)=0
即f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数
下面证明函数的单调性
设x1,x2属于R,且x1>x2
则f(x1)—f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)
由x1>x2,即x1-x2>0
又有当x>0时,f(x)>0
即f(x1-x2)>0
即f(x1)>f(x2)
即y=f(x)在R是增函数
由f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
即不等式f(x)+f(2+x)<2,
变为f(x)+f(2+x)<f(2/3),
即f(x+2+x)

1、奇偶性
由于f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0 得出f(0)=f(0)+f(0),推出f(0)=0
令y=-x,得出f(x-x)=f(x)+f(-x),推出f(x)=-f(-x),得出f(x)为奇函数
由于x>0时,f(x)>0,因此当x<0时,f(x)<0
2、单调性
令x+y>0,其中y<0,x>0,可得y的绝对值小于x。

全部展开

1、奇偶性
由于f(x+y)=f(x)+f(y)
令x=y=0 得出f(0)=f(0)+f(0),推出f(0)=0
令y=-x,得出f(x-x)=f(x)+f(-x),推出f(x)=-f(-x),得出f(x)为奇函数
由于x>0时,f(x)>0,因此当x<0时,f(x)<0
2、单调性
令x+y>0,其中y<0,x>0,可得y的绝对值小于x。
所以f(x+y)=f(x)+f(y)=f(x)-f(-y)>0(注:有奇函数得出f(y)=-f(-y))
因此f(x)>f(-y),即f(x)在(0,正无穷)单调为增
同理可得f(x)在(负无穷,0)单调为增
3、由于2=f(1/3)+f(1/3)=f(2/3)
因此f(x)+f(2+x)=f(2+2x)<2=f(2/3)
由于增函数
所以2+2x<2/3
解出x<-2/3

收起

应该已经求出是增函数了吧
f(2/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
所以f(x)+f(2+x)=f(x+2+x)所以x+2+x<2/3
x<-2/3