求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大）的最小值如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 02:47:23
求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大）的最小值如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大）的最小值
如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
求函数y=(x^2+2x+1)/x x属于[1,+无穷大）的最小值如题,括号表示分子,分母是x,并有讲解,思路分析,
方法一：y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2
∵x∈[1,+∞）
∴x+1/x≥2√(x*1/x)＝2
（当且仅当x=1时取等号）
∴y≥4
∴y=(x^2+2x+1)/x x∈[1,+∞）的最小值为4
方法二：y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2
设任意x1,x2∈[1,+∞）,且x1＜x2
y1-y2=x1+1/x1+2-(x2+1/x2+2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2
∵x1＜x2∈[1,+∞）
∴y1-y2＞0
∴y1＞y2
∴y=(x^2+2x+1)/x为增函数
∴当x=1时,y最小为4
方法一：y==(x^2+2x+1)/x =x+1/x+2≥2×√（x×1/x）+2=4
当x=1时取等号。
方法二：求导，y′=1-1/x^2 x属于[1,+无穷大）则1/x^2属于(0，1]
故y′≥0 y单调递增，最小值为x=1时 y=4
先分离常数y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2≥4
当x=1时取等号
也可用函数单调性来做
y=(x^2+2x+1)/x=x+1/x+2>=2+2=4
当且仅当x=1时取到等号。