已知函数f(x)=|x|/(x+2) (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明(2)如果函数g(x)=f(x)-kx^2,若函数g(x)在(负无穷,0]上有三个零点,求实数k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:04:30
已知函数f(x)=|x|/(x+2) (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明(2)如果函数g(x)=f(x)-kx^2,若函数g(x)在(负无穷,0]上有三个零点,求实数k的取值范围
已知函数f(x)=|x|/(x+2) (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明
(2)如果函数g(x)=f(x)-kx^2,若函数g(x)在(负无穷,0]上有三个零点,求实数k的取值范围
已知函数f(x)=|x|/(x+2) (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明(2)如果函数g(x)=f(x)-kx^2,若函数g(x)在(负无穷,0]上有三个零点,求实数k的取值范围
(1) 在区间(0,+∞)上,|x|=x,所以f(x)=x/(x+2) =1-2/(x+2)
对任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=2/(x2+2)-2/(x1+2)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(2) 在(负无穷,0]上,f(x)=-x/(x+2) .g(x)=-x/(x+2)-kx^2=-1+2/(x+2)-kx^2,x=0时g(x)＝0,这是一个零点.令h(x)=kx^2.
g'(x)=-2/((x+2)^2)-2kx.若函数g(x)在(负无穷,0]上有三个零点,则在(负无穷,0]上一定存在x使得g(x)=0,即-2/((x+2)^2)-2kx=0,所以有k=-1/(x(x+2)^2)>0.
f(x)=-1+2/(x+2)在(负无穷,-2)上递减,值域为[-1,负无穷大）；在(-2,0]上递减,值域为[0,正无穷大)
g(x)=f(x)-h(x)=0,则f(x)=h(x),即途中的黑线表示的函数和紫线表示的函数在(负无穷,0]上有三个交点,k>0,二次函数h(x)=kx^2开口向上.
x=0处f(x)和h(x)有一个交点,在(负无穷,-2)上没有交点,所以在(-2,0)上f(x)和h(x)有且只有两个交点,即g'(x)=0在(-2,0)上有两个解,而k=-1/(x(x+2)^2)．
在(-2,0)上,令t(x)=-1/(x(x+2)^2),t'(x)=-(3x+2)/(x^2*(x+2)).若t'(x)=0,则x=-2/3,即当x=-2/3时,t(x)取最小值为27/32.
由于g'(x)=0在(-2,0)上有两个解,所以k的取值范围为（27/32,正无穷大）．
（图画的很难看,抱歉）
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g(x)=f(x)-h(x)=0,则f(x)=h(x)