如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/20 23:55:50
如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.
如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,
(1)求证：B′E=BF；
(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.
如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.
三角形A'B'E全等于三角形ABE
角ABE=角A'B'E
故角AEB=角EB'F
故BE平行于B'F
B'E平行于BF
故B'EBF是平行四边形,
又B'F=BF,故B'EBF是棱形
故B′E=BF
BF=BE=c
BE^2=AB^2+AE^2
故c^2=a^2+b^2
(2)三角形A'B'E全等于三角形ABE
角ABE=角A'B'E
故角AEB=角EB'F
故BE平行于B'F
B'E平行于BF
故B'EBF是平行四边形，
又B'F=BF,故B'EBF是棱形
故B′E=BF
BF=BE=c
BE^2=AB^2+AE^2
故c^2=a^2+b^2
（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；
（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．
证明：连接BE，
由（1）知B′E=BF=...
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（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；
（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．
证明：连接BE，
由（1）知B′E=BF=c，
∵B′E=BE，
∴四边形BEB′F是平行四边形，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE2+AB2=BE2，
∵AE=a，AB=b，
∴a2+b2=c2；
（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．
证明：连接BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．
收起
根据题意，结论①B′E=BF正确； 连接BE， 根据折叠可知：BF=B′F，∠BFE=∠B′FE， 又∵EF=EF ∴△B′EF≌△BEF（SAS）， ∴B′E=BE，∠B′FE=∠BFE， 又∵AD∥BC， ∴∠B'EF=∠BFE， ∴∠B′FE=∠B′EF， ∴B′F=B′E， ∴B′E=BF， ∴BE=B′F=BF=c， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，a2+b2=c2；...
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根据题意，结论①B′E=BF正确； 连接BE， 根据折叠可知：BF=B′F，∠BFE=∠B′FE， 又∵EF=EF ∴△B′EF≌△BEF（SAS）， ∴B′E=BE，∠B′FE=∠BFE， 又∵AD∥BC， ∴∠B'EF=∠BFE， ∴∠B′FE=∠B′EF， ∴B′F=B′E， ∴B′E=BF， ∴BE=B′F=BF=c， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，a2+b2=c2；
收起
证明：过B′向BC做垂线，垂足是G,则
B′G=CD=A′B′
两个都是直角三角形，直角相等
还有角A′B′E=角B′GF
所以两个三角形全等
所以B′E=B′F=BF
2)BF=B′F=B′E=BE=c
三角形EAB是直角三角形，所以a^2+b^2=c^2