已知圆M:X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点,QA,QB分别切圆M与AB两点(1)证直线AB过定点(2)求弦AB的中点P的轨迹方程

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 08:12:22
已知圆M:X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点,QA,QB分别切圆M与AB两点(1)证直线AB过定点(2)求弦AB的中点P的轨迹方程已知圆M:X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点,

已知圆M:X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点,QA,QB分别切圆M与AB两点(1)证直线AB过定点(2)求弦AB的中点P的轨迹方程
已知圆M:X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点,QA,QB分别切圆M与AB两点
(1)证直线AB过定点(2)求弦AB的中点P的轨迹方程

已知圆M:X^2+(y-2)^2=1,点Q是X轴上的动点,QA,QB分别切圆M与AB两点(1)证直线AB过定点(2)求弦AB的中点P的轨迹方程
(1)设 Q(a,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为 A 、B 是切点,因此过 A、B 的切线方程分别是 x1*x+(y1-2)*(y-2)=1 ,x2*x+(y2-2)*(y-2)=1 ,
由于它们都过 Q ,因此 Q 坐标满足方程,
代入得 ax1-2(y1-2)=1 ,ax2-2(y2-2)=1 ,
这说明 A、B 坐标均满足直线 ax-2(y-2)=1 ,
因此直线 AB 的方程为 ax-2(y-2)=1 ,
显然 AB 恒过定点 N(0,3/2).
(2)由于 P 是 AB 的中点,因此 MP丄AB ,
而 AB 恒过定点 N ,因此 MP丄NP ,
这说明 P 的轨迹是以 MN 为直径的圆,
由于 |MN|=1/2 ,因此半径为 1/4 ,而圆心为 (0,(2+3/2)/2)即(0,7/4),
所以方程为 x^2+(y-7/4)^2=1/16 .(当然得去掉点(0,2),因为 AB 不可能垂直于 x 轴)