f(x,y)=exp(-(x+y)) x>0 y>0 求Z=(X+Y)/2的概率密度.为什么不能所求密度不等于 ∫f(x,2z-x)dx?

f(x,y)=exp(-(x+y)) x>0 y>0 求Z=(X+Y)/2的概率密度.为什么不能所求密度不等于 ∫f(x,2z-x)dx?
f(x,y)=exp(-(x+y)) x>0 y>0 求Z=(X+Y)/2的概率密度.为什么不能所求密度不等于 ∫f(x,2z-x)dx?

f(x,y)=exp(-(x+y)) x>0 y>0 求Z=(X+Y)/2的概率密度.为什么不能所求密度不等于 ∫f(x,2z-x)dx?
题目条件没有写完整,只说明了f(x,y)在第一象限的取值,在其它象限呢?
一般情况都设定在其它象限为0,即
{ exp(-(x+y)),当x>0,y>0 时,
f(x,y)= {
{ 0,其它.
（这样才能保证总概率为1）
问题提法不正确.
Z=(X+Y)/2的概率密度当然是f_Z (z)= ∫f(x,2z-x) dx （x从-∞到+∞）,
但是,不是∫exp(-(x+2z-x)) dx （x从-∞到+∞）,
因为在第一象限之外f(x,y)≠exp(-(x+y))（当x≤0或y≤0时,f(x,y)=0,而不是exp(-(x+y)) .）
所以,当z≤0时,f_Z (z)=0；
当z>0时,
f_Z (z)= ∫f(x,2z-x) dx （x从-∞到+∞）
= ∫f(x,2z-x) dx （x从0到2z）
（当x≤0或x≥2z时,f(x,2z-x)=0；仅当0