已知椭圆的方程为x²/9+y²=1,过左焦点作倾斜角为π/6的直线,交椭圆于A,B两点,求AB长.

已知椭圆的方程为x²/9+y²=1,过左焦点作倾斜角为π/6的直线,交椭圆于A,B两点,求AB长.
已知椭圆的方程为x²/9+y²=1,过左焦点作倾斜角为π/6的直线,交椭圆于A,B两点,求AB长.

已知椭圆的方程为x²/9+y²=1,过左焦点作倾斜角为π/6的直线,交椭圆于A,B两点,求AB长.
椭圆左焦点为F1(2√2,0),焦点弦斜率为k=tan(π/6)=1/√3
则焦点弦方程为 y=(x-2√2)/√3 或 x=√3y+2√2
代入椭圆可得 (√3y+2√2)^2+9y^2=9
整理得 12y^2+4√6y-1=0
设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则由韦达定理可得
y1+y2=-√6/3,y1y2=-1/12; x1+x2=√3(y1+y2)+4√2=3√2
x1x2=(√3y1+2√2)(√3y2+2√2)=3y1y2+2√6(y1+y2)+8=-1/4-4+8=15/4
∴AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[(3√2)^2-4*(15/4)+(-√6/3)^2-4*(-1/12)]
=√(3+1)
=2

利用弦长公式即可。
思路：先设出两个交点的坐标，求出直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，得到x1和x2的关系，再根据弦长公式AB=√(1+k^2)*√（x1-x2)^2 计算即可。（解法一，设而不求法）
当然，直接联立方程求出两点坐标，再根据两点距离公式求也行，不过这种做法相对运算繁琐些。建议掌握第一种方法。（解法二，直接法、传统法）谢谢，兄台， 不过我想要详细过程， ...

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利用弦长公式即可。
思路：先设出两个交点的坐标，求出直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，得到x1和x2的关系，再根据弦长公式AB=√(1+k^2)*√（x1-x2)^2 计算即可。（解法一，设而不求法）
当然，直接联立方程求出两点坐标，再根据两点距离公式求也行，不过这种做法相对运算繁琐些。建议掌握第一种方法。（解法二，直接法、传统法）

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