23．（2010•汕头）阅读下列材料：1×2 = (1×2×3－0×1×2),2×3 = (2×3×4－1×2×3),3×4 = (3×4×5－2×3×4),由以上三个等式相加,可得1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20．读完以上材料,请你计算下列各题：(1)

23．（2010•汕头）阅读下列材料：1×2 = (1×2×3－0×1×2),2×3 = (2×3×4－1×2×3),3×4 = (3×4×5－2×3×4),由以上三个等式相加,可得1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20．读完以上材料,请你计算下列各题：(1)
23．（2010•汕头）阅读下列材料：
1×2 = (1×2×3－0×1×2),
2×3 = (2×3×4－1×2×3),
3×4 = (3×4×5－2×3×4),
由以上三个等式相加,可得
1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20．
读完以上材料,请你计算下列各题：
(1) 1×2＋2×3＋3×4＋•••＋10×11（写出过程）；
(2) 1×2＋2×3＋3×4＋•••＋n×(n＋1) = _________；
(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋•••＋7×8×9 = _________．
第（1）和（2） 不用 直接写第三

23．（2010•汕头）阅读下列材料：1×2 = (1×2×3－0×1×2),2×3 = (2×3×4－1×2×3),3×4 = (3×4×5－2×3×4),由以上三个等式相加,可得1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20．读完以上材料,请你计算下列各题：(1)
!你题错了!应该是1×2 = 1/3 (1×2×3－0×1×2)=1×2×3*1/3,前面要乘1/3,不信你自己算算.
（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋?＋7×8×9 =1/4[ (1×2×3×4-0*1*2*3)+(2×3×4×5-1×2×3×4）+.(7×8×9×10-6×7×8×9)=1/4（7×8×9×10-0*1*2*3）=1260（裂项）

n（n-1）=1/3(n*(n-1)*(n+1)-(n-2)(n-1)n)所以第一问就是1/3*(n*(n-1)*(n+1)),同理第二问是1/4*(7*8*9*10)=1260

1×2＋2×3＋3×4＋•••＋10×11
=1×2×3－0×1×2+2×3×4－1×2×3+3×4×5－2×3×4+............+10×11×12－9×10×11
=10×11×12-0×1×2
=132-0
=132
1×2＋2×3＋3×4＋•••＋n×(n＋1)

全部展开

1×2＋2×3＋3×4＋•••＋10×11
=1×2×3－0×1×2+2×3×4－1×2×3+3×4×5－2×3×4+............+10×11×12－9×10×11
=10×11×12-0×1×2
=132-0
=132
1×2＋2×3＋3×4＋•••＋n×(n＋1)
=1×2×3－0×1×2+2×3×4－1×2×3+3×4×5－2×3×4+............+n×(n＋1)(n+2)－(n-1)×n×(n＋1)
=n×(n＋1)(n+2)-0×1×2
=n×(n＋1)(n+2)-0
=n(n＋1)(n+2)
1*2*3=1/4(1*2*3*4-0*1*2*3）
2*3=1/4(2*3*4*5-1*2*3*4）
3*4=1/4(3*4*5*6-2*3*4*5)
以上三式相加：1*2*3+2*3*4+3*4*5=1/4*3*4*5*6=90
所以1*2*3+2*3*4+3*4*5+……7*8*9=1/4*7*8*9*10=1260

收起

这道题考察了裂项法，裂项相消。
n×(n+1)×(n+2) = [n×(n+1)×(n+2)×(n+3) - (n-1)×n×(n+1)×(n+2)]/4
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
= [1×2×3×4 - 0×1×2×3 + 2×3×4×5 - 1×2×3×4 + … + 7×8×9×10 - 6×7×8×9]/4
= 7×8×9×10/4
= 1260

不会