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每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数.
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数.
就是一个数的约数,并且是质数,比如8=2乘2乘2,2就是8的质因数.12＝2×2×3,2和3就是12的质因数.把一个式子以12＝2×2×3的形式表示,叫做分解质因数.16=2×2×2×2,2就是16的质因数,把一个合数写成几个质数相乘的形式表示,叫做分解质因数.
分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数,得出的数若是一个质数,就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法,直至最后是一个质数 .
分解质因数的有两种表示方法,除了大家最常用知道的“短除分解形式”之外,还有一种方法就是“塔形分解形式”（参见上图）.
分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助,同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫.
如何分解质因数的方法
短除法
求最大公约数的一种方法,也可用来求最小公倍数.
求几个数最大公约数的方法,开始时用观察比较的方法,即：先把每个数的约数找出来,然后再找出公约数,最后在公约数中找出最大公约数.
例如：求12与18的最大公约数.
12的约数有：1、2、3、4、6、12.
18的约数有：1、2、3、6、9、18.
12与18的公约数有：1、2、3、6.
12与18的最大公约数是6.
这种方法对求两个以上数的最大公约数,特别是数目较大的数,显然是不方便的.于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法.
12＝2×2×3
18＝2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积,但分成质因数连乘积就只有以上一种,而且不能再分解了.所分出的质因数无疑都能整除原数,因此这些质因数也都是原数的约数.从分解的结果看,12与18都有公约数2和3,而它们的乘积2×3＝6,就是 12与18的最大公约数.
采用分解质因数的方法,也是采用短除的形式,只不过是分别短除,然后再找公约数和最大公约数.如果把这两个数合在一起短除,则更容易找出公约数和最大公约数.
从短除中不难看出,12与18都有公约数2和3,它们的乘积2×3＝6就是12与18的最大公约数.与前边分别分解质因数相比较,可以发现：不仅结果相同,而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数,而两个数的最大公约数,就是这两个数的公共质因数的连乘积.
实际应用中,是把需要计算的两个或多个数放置在一起,进行短除.
在计算多个数的最小公倍数时,对其中任意两个数存在的约数都要算出,其它无此约数的数则原样落下.最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数.