四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:46:26
四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动
点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.
(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
作AF⊥CD于F点
以A为原点,向量AB,向量AF,向量AP方向分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系.
设AP=1
则A(0,0,0) B(1,0,0) C(1,1,0) P(0,0,1)
D(-1,1,0) ……(据平面几何求出)
∵E在棱PB,向量PB=(1,0,-1) 又设向量PE=λ向量PB λ∈[0,1]
∴向量PE=(λ,0,-λ)
（1）
向量PD=(-1,1,-1),向量AC=(1,1,0) 向量PA=(0,0,-1)
向量AE=向量PE－向量PA=(λ,0,-λ+1)
设面EAC法向量为向量n(x,y,z)
则向量n×向量AC=0
向量n×向量PE=0
∴x+y=0；λx－λz+z=0
令x=1,则y=-1；z=λ/(λ－1)
∴为了方便计算(去分母而已),向量n可以为(λ－1,1－λ,λ)
令向量n×向量PD=0
即1－λ+1－λ－λ=0
λ=2/3
∴点E在靠近B点的PB三等分点.
（2）
由(1)可知向量n=(-1/3,1/3,2/3)
为了方便计算(去分母而已),向量n可以为(-1,1,2)
同理求出面PEC的法向量m=(-1,0,-1)
∴cos＜向量m,向量n＞=(向量m×向量n)的绝对值/(向量m的模×向量n的模)
=(√3)/6
∴二面角A-CE-P的余弦值为(√3)/6
(1)连接BD，交AC于点O，连接EO，令PA=AB=BC=a，
因为AB∥DC，∠ABC=∠CAD=∠BCD=90°，
所以AC=√2*AB=√2*a，CD=√2*AC=2a，
则BO/DO=AB/CD=a/2a=1/2，
当PD平行平面EAC时，EO∥PD，
所以BE/PE=BO/DO=1/2，
所以点E在靠近B点的PB三等分点上；
（2...
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(1)连接BD，交AC于点O，连接EO，令PA=AB=BC=a，
因为AB∥DC，∠ABC=∠CAD=∠BCD=90°，
所以AC=√2*AB=√2*a，CD=√2*AC=2a，
则BO/DO=AB/CD=a/2a=1/2，
当PD平行平面EAC时，EO∥PD，
所以BE/PE=BO/DO=1/2，
所以点E在靠近B点的PB三等分点上；
（2）因为PA⊥面ABCD，所以面PAC⊥面ABCD，
则点B到AC的距离h1为点B到面PAC的距离，
所以h1=AB*√2/2=a*√2/2，
则点E到面PAC的距离h2/h1=PE/PB=2/3，
所以h1=a*√2/3，
因为PA⊥面ABCD，
所以点E到面ABCD的距离L1/PA=BE/PB=1/3
所以L1=a/3，
根据勾股定理可得，点E到AC的距离L2=a*√3/3，
所以二面角A-CE-P的余弦值=L1/L2=√3/3.
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