椭圆C：X^2/4+Y^2/3与直线Y=KX+B交于P,Q两点,椭圆右顶点为C,以P,Q为直径作圆,过点C,求证:直线过定点,并求出这个点
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 19:52:23
椭圆C：X^2/4+Y^2/3与直线Y=KX+B交于P,Q两点,椭圆右顶点为C,以P,Q为直径作圆,过点C,求证:直线过定点,并求出这个点
椭圆C：X^2/4+Y^2/3与直线Y=KX+B交于P,Q两点,椭圆右顶点为C,以P,Q为直径作圆,过点C,求证:直线过定点,并求出这个点
椭圆C：X^2/4+Y^2/3与直线Y=KX+B交于P,Q两点,椭圆右顶点为C,以P,Q为直径作圆,过点C,求证:直线过定点,并求出这个点
证:依题意得:C(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)
椭圆方程可化为:3x^2+4y^2-12=0
联立椭圆与直线方程得:3x^2+4(k^2·x^2+2kb+b^2)-12=0
化简得(3+4k^2)x^2+8kb+4b^2-12=0
所以x1x2=(4b^2-12)/(3+4k^2)
x1+x2=-8kb/(3+4k^2)
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2
=[(4b^2-12)·k^2-8k^2·b^2]/(3+4k^2)+b^2
=(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)
因为以P,Q为直径作圆,过点C,所以向量PC·向量QC=0
即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
(4b^2-12）/(3+4k^2)+16kb/(3+4k^2)+(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)+4=0
(4b^2-12+16kb+3b^2-12k^2+12+16k^2)/(3+4k^2)=0
(7b^2+4k^2+16kb)/(3+4k^2)=0
则7b^2+16kb+4k^2=0
b=(-16±12)/14=(-2/7)k 或(-2)k
若b=-(2/7)k,则直线方程为y=kx-(2/7)k,过定点(2/7,0)
若b=-2k,则直线方程为y=kx-2k,过定点(2,0)
呼哧,用电脑看可能有点晕,建议用笔再写一遍,也能顺便验算一下～