设集合A={x|x=m^2+n^2,m,n in Z}即集合A是由所有能够写成两个整数的平方和的整数的集合.求证：若s,t in A ,且t 不等于0 ,则s/t一定是两个有理数的平方和.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 19:35:48
设集合A={x|x=m^2+n^2,m,n in Z}即集合A是由所有能够写成两个整数的平方和的整数的集合.求证：若s,t in A ,且t 不等于0 ,则s/t一定是两个有理数的平方和.
设集合A={x|x=m^2+n^2,m,n in Z}即集合A是由所有能够写成两个整数的平方和的整数的集合.求证：若s,t in A ,且t 不等于0 ,则s/t一定是两个有理数的平方和.
设集合A={x|x=m^2+n^2,m,n in Z}即集合A是由所有能够写成两个整数的平方和的整数的集合.求证：若s,t in A ,且t 不等于0 ,则s/t一定是两个有理数的平方和.
若s,t∈A,t ≠0,
仍设s = m^2 + n^2,t = u^2 + v^2,其中m,n,u,v∈Z.
因为t ≠0,故u,v不同时为零.
则s/t = st/t^2 = (m^2 + n^2)(u^2 + v^2)/(u^2 + v^2)^2
= ((mu + nv)^2 + (mv - nu)^2)/(u^2 + v^2)^2
= {(mu + nv)/(u^2 + v^2)}^2 + {(mv - nu)/(u^2 + v^2)}^2
设p = (mu + nv)/(u^2 + v^2),q = (mv - nu)/(u^2 + v^2),
则p,q为有理数,且s/t=p²+q².
题目打错了吧，都哪跟哪啊 是不是这答案？设s=a^2-b^2,t=c^2-d^2其中a,b,c,d均为整数. 则st=(a^2-b^2)(c^2-d^2) =(ac)^2 (
证明思路如下：即证明s/t=（a/b）^2+(c/d)^2=(a^2d^2+b^2c^2)/(b^2d^2) a,b,c,d为整数
s=a^2d^2+b^2c^2显然是属于A的那么也就是说A中必可找到一个元素满足上式s
对于t=(b*d)^2∈A显然也是存在的也就是说t∈A必能满足t=(b*d)^2
证明如下：由勾股定理可知t=（bd）^2=m^2+n^2 （1）m,n ∈...
全部展开
证明思路如下：即证明s/t=（a/b）^2+(c/d)^2=(a^2d^2+b^2c^2)/(b^2d^2) a,b,c,d为整数
s=a^2d^2+b^2c^2显然是属于A的那么也就是说A中必可找到一个元素满足上式s
对于t=(b*d)^2∈A显然也是存在的也就是说t∈A必能满足t=(b*d)^2
证明如下：由勾股定理可知t=（bd）^2=m^2+n^2 （1）m,n ∈ Z且b，d∈Z 由于t∈A A是Z的子集则t∈Z
也有s=(ad)^2+(bc)^2 （2）a,b,c,d∈Z
既然s t可以表示成（1）（2）那么也就是说S/T=(a^2d^2+b^2c^2)/(b^2d^2) =（a/b）^2+(c/d)^2
由于a,b,c,d具有任意性质故可证明充分性
收起
呵呵，我无从下手。知道答案的告诉我啊