如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点.1.求证A1C∥平面AB1D 2.求二面角B1求二面角B1-AD-B的余弦值 3.判断在线段B1B上是否存在一点M.使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M/B1B的值,若不存在,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 07:26:07
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点.1.求证A1C∥平面AB1D 2.求二面角B1求二面角B1-AD-B的余弦值 3.判断在线段B1B上是否存在一点M.使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M/B1B的值,若不存在,
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点.1.求证A1C∥平面AB1D 2.求二面角B1
求二面角B1-AD-B的余弦值 3.判断在线段B1B上是否存在一点M.使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M/B1B的值,若不存在,说明理由
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=BB1=1,点D是BC的中点.1.求证A1C∥平面AB1D 2.求二面角B1求二面角B1-AD-B的余弦值 3.判断在线段B1B上是否存在一点M.使得A1M⊥B1D?若存在,求出B1M/B1B的值,若不存在,
使用向量法
（1）证明：以C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
∵AC=BC=BB1=1,则A1（1,0,1）,C（0,0,0）,D（0,1/2,0）,A（1,0,0）,B1（0,1,1）,B（0,1,0）
∴向量A1C=(-1,0,-1),
向量AD=(-1,1/2,0),
向量AB1=(-1,1,1)
设平面AB1D的法向量为向量n=（x,y,z）,则由
向量n·向量AD=0
向量n·向量AB1=0
-x+1/2y=0
-x+y+z=0
故可取向量n=（1,2,-1）
∵向量A1C·向量n=0,
∴A1C∥平面AB1D
（2）
由（1）知平面AB1D的法向量为n=（1,2,-1）,平面ABD的法向量为m=（0,0,1）
∴二面角B1-AD-B的余弦值为=向量m·向量n/|m|·|n|=|-1|/√6=√6/6
∴二面角B1-AD-B的正弦值为√30/6
设M（0,1,t）,则
向量A1M=（-1,1,t-1）,
向量B1D=（0,-1/2,-1）
若A1M⊥B1D,则
向量A1M·向量B1D =0,
∴-1/2-（t-1）=0,
∴t=1/2
∴B1M/B1B=1/2时,
A1M⊥B1D．
（1）证明：如图连结A1B交AB1与点E,连结DE，在△A1BC中，DE是中位线 ∴DE∥A1C 又∵A1C不在平面AB1D中，DE在平面AB1D中 ∴A1C∥平面AB1D （2）过B作BF⊥AD于延长线于点F，连结B1F 由三垂线定理可知∠BFB1是二面角B-AD-B1的平面角 △ABD的面积为1/4=AD×BF/2=(√5/2)×BF/2，得BF=√5/5 在直角三角形B1BF中，BB1=1，可得B1F=√30/5 所以cos∠B1FB=(√5/5)/(√30/5)=√6/6 （3）在线段BB1上存在中点M，使得A1M⊥B1D，理由如下 连结C1M，因为A1C1⊥平面BCC1B1 在正方形BCC1B1中，显然C1M⊥B1D，由三垂线定理可知A1M⊥B1D 此时B1M/B1B=1/2