如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,D是BC上任一点,求证:BD²+CD²=2AD²

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 11:40:24
如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,D是BC上任一点,求证:BD²+CD²=2AD²如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,D是BC上任一点,求证

如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,D是BC上任一点,求证:BD²+CD²=2AD²
如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,D是BC上任一点,求证:BD²+CD²=2AD²

如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,D是BC上任一点,求证:BD²+CD²=2AD²
过A做AE垂直BC
ABC是等腰直角三角形
角B=C=45度
所以三角形ABE和ACE也是等腰直角三角形
AE=BE=CE
直角三角形AED中
AD²=DE²+AE²
DE=BE-BD=CD+CE
即DE=AE-BD=CD+AE
AE=(CD+BD)/2
DE=AE-BD=(CD+BD)/2-BD=(CD-BD)/2
代入AD²=DE²+AE²
AD²=(CD-BD)²/4+(CD+BD)²/4
4AD²=CD²-2CD*BD+BD²+CD²+2CD*BD+BD²=2CD²+2BD²
所以BD²+CD²=2AD²