一道线性代数题：设a是n维向量,ata=1,证明E-aat是对称幂等矩阵,且不可逆如题,

一道线性代数题：设a是n维向量,ata=1,证明E-aat是对称幂等矩阵,且不可逆如题,
一道线性代数题：设a是n维向量,ata=1,证明E-aat是对称幂等矩阵,且不可逆
如题,

一道线性代数题：设a是n维向量,ata=1,证明E-aat是对称幂等矩阵,且不可逆如题,
你那t是转置吧,这里我们换个符号,用a'表示a的转置.
(E-aa')=(E'-(aa')')=E-(a')'a'=E-aa'
所以E-aa'是对称的
而(E-aa')² = E²-2Eaa'+aa'aa'
=E-2aa'+a(a'a)a'=E-2aa'+aa'=E-aa'
所以E-aa'是幂等的
由于a'a=1,所以a≠0,而
(E-aa')a=a-a=0
说明方程组(E-aa')X=0,有非零解.
所以E-aa'不是满秩的,即不可逆

(E-aat)(E-aat)=E-2aat+a(ata)at=E-2aat+aat=E-aat
所以E-aat是幂等矩阵
｜E-aat｜=1|1-ata|=｜1-1｜=0
所以E-aat不可逆
这里用到矩阵一个性质：p不等于0时
｜pEn-AB｜=p^(n-m)|pEm-BA|
其中En指的是n阶单位阵，
这个结论在北京大学高等代数第四章习题...

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(E-aat)(E-aat)=E-2aat+a(ata)at=E-2aat+aat=E-aat
所以E-aat是幂等矩阵
｜E-aat｜=1|1-ata|=｜1-1｜=0
所以E-aat不可逆
这里用到矩阵一个性质：p不等于0时
｜pEn-AB｜=p^(n-m)|pEm-BA|
其中En指的是n阶单位阵，
这个结论在北京大学高等代数第四章习题上有。

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