四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB是否存在一点Q,使得点Q到棱锥所有顶点的距离相等
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 15:39:49
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB是否存在一点Q,使得点Q到棱锥所有顶点的距离相等
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB
是否存在一点Q,使得点Q到棱锥所有顶点的距离相等
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB是否存在一点Q,使得点Q到棱锥所有顶点的距离相等
（图我就不画了,具体我会文字说明.）
取BC中点O,取AB中点E,连接OE、PE,连接AC、AO.
三角形ABO是正三角形,四边形AOCD是平行四边形.
AB=BC/2,∠ABC=60,
三角形ABC是直角三角形,BC为斜边.
从以上条件可得四棱锥P-ABCD中,底面ABCD四点共圆,圆心在点O,BC为直径,
容易知道圆O的半径=AB.
平面PAB⊥平面ABCD,由于PA⊥PB,ABP三点共圆,圆心在E,半径=AB/2.
OE是正三角形ABO中AB边对应的高,OE⊥AB,OE⊥平面PAB,
OP^2=EP^2+OE^2 （勾股定理）
又EP=AB/2,OE=(2分之根号3)AB,
OP=AB.
所以四棱锥P-ABCD各个顶点共球,球心在O,球的半径=AB.
点O即为所求Q点.
存在这样的点：BC的中点就是。
思路：到各顶点距离相等，也就是外接球的球心有这样的性质，换言之，四棱锥的各顶点是否在同一球面上。
假设有，且四棱锥的外接球是球Q，那么，因为PA垂直于PB，所以，截面PAB的圆心是AB的中点，（直角三角形的外心）标记为点M，那么，QM垂直于面PAB，因为面PAB垂直于面ABCD，所以，QM与AB垂直。
底面ABCD是个很特殊的梯形，标记BC的...
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存在这样的点：BC的中点就是。
思路：到各顶点距离相等，也就是外接球的球心有这样的性质，换言之，四棱锥的各顶点是否在同一球面上。
假设有，且四棱锥的外接球是球Q，那么，因为PA垂直于PB，所以，截面PAB的圆心是AB的中点，（直角三角形的外心）标记为点M，那么，QM垂直于面PAB，因为面PAB垂直于面ABCD，所以，QM与AB垂直。
底面ABCD是个很特殊的梯形，标记BC的中点为N，连AN，CN，那么，三角形ABN，ADN，CDN都是等边三角形，如果连接MN，那么：AN=BN=CN=DN=AB
稍稍计算一下，PN也等于AB，（不妨设AB=1来计算）
当然，做这个题时，没有找出Q点这么辛苦，只要这样做就OK：
存在这样的点，BC的中点就是点Q。
证明如下：balabala，有了思路，证明很简单，不重复。
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