已知a,b,c都是实数,求证：a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca

已知a,b,c都是实数,求证：a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca
已知a,b,c都是实数,求证：a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca

已知a,b,c都是实数,求证：a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca
3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
≥0
3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2
(a^2+b^2+c^2)≥1/3*(a+b+c)^2
（a+b+c)的平方-3(ab+bc+ca)
=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
≥0
（a+b+c)的平方≥3(ab+bc+ca)
1/3*（a+b+c)的平方≥(ab+bc+ca)
所以,
a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca

3a^2+3b^2+3c^2=(a^2+b^2+c^2)+(2a^2+2b^2+2c^2)
=(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)
>= (a^2+b^2+c^2)+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2
所以a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+...

全部展开

3a^2+3b^2+3c^2=(a^2+b^2+c^2)+(2a^2+2b^2+2c^2)
=(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)
>= (a^2+b^2+c^2)+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2
所以a的平方+b的平方+c的平方大于等于1/3（a+b+c)的平方
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
=1/2(a^2+b^2)+1/2(a^2+c^2)+1/2(b^2+c^2)+2ab+2ac+2bc
>=ab+ac+bc++2ab+2ac+2bc=3(ab+ac+bc)
所以1/3（a+b+c)的平方大于等于ab+bc+ca

收起

a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2/3
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)/3
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/3>=0
a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3
(a+b+c)^2/3-ab-bc-ca
=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/3-ab-bc-ca
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)/6
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/6>=0
(a+b+c)^2/3>=ab+bc+ca