求极限,谢谢大家啦〜

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求极限 x→0⁺lim{【0,x²】∫t^(³/₂)dt/【0,x】∫t(t-sint)dt}
解一：因为这是0/0型,故可直接用洛必达法则：
原式= x→0⁺lim[(x²)^(³/₂)(2x)]/[x(x-sinx)]=x→0⁺lim[2x⁴/(x²-xsinx)]=x→0⁺lim[8x³/(2x-sinx-xcosx)]
=x→0⁺lim[24x²/(2-cosx-cosx+xsinx)]=x→0⁺lim[24x²/(2-2cosx+xsinx)]
=x→0⁺lim[48x/(2sinx+sinx+xcosx)]=x→0⁺lim[48x/(3sinx+xcosx)]=x→0⁺lim[48/(3cosx+cosx-xsinx)]
=x→0⁺lim[48/(4cosx-xsinx)]=12
解二：分子分母先分别积分：
分子：【0,x²】∫t^(³/₂)dt=(2/5)x^(⁵/₂)【0,x²】=(2/5)x⁵
分母：【0,x】∫t(t-sint)dt=【0,x】∫(t²-tsint)dt=【0,x】[t³/3+∫td(cost)]
=【0,x】[t³/3+tcosx-sint]=x³/3+xcosx-sinx
故原式=x→0⁺lim[(2/5)x⁵]/[x³/3+xcosx-sinx]=x→0⁺lim(2x⁴)/(x²-xsinx+cosx-cosx)
=x→0⁺lim(2x⁴)/(x²-xsinx)【从此处开始,与解一的第二个等号后完全一致,故不再作了,直接写出
结果】=12.

先算定积分，再算极限。

∫（0，x^2)t^(3/2)dt=(2/5)t^(5/2)I(0,x^2)
=(2/5)(x^2)^(5/2)
=(2/5)x^5
∫(0，x)t(t-sint)dt=(1/3)t^3I(0，x)+tcostI(0，x)-sint...

全部展开

∫（0，x^2)t^(3/2)dt=(2/5)t^(5/2)I(0,x^2)
=(2/5)(x^2)^(5/2)
=(2/5)x^5
∫(0，x)t(t-sint)dt=(1/3)t^3I(0，x)+tcostI(0，x)-sintI(0，x)
=(1/3)x^3+xcosx-sinx
∴lim{[∫(0，x^2)t^(3/2)dt]/[∫(0，x)t(t-sintdt)]}=lim[(2/5)x^5]/[(1/3)x^3+xcosx-sinx]
x→0 x→0
=(6/5)lim(x^5)/(x^3+3xcosx-3sinx) ("0/0")
x→0
=(6/5)lim(5x^4)/(3x^2+3cosx-3xsinx-3cosx)
x→0
=2lim(x^4)/(x^2-xsinx) ("0/0")
x→0
=2lim(4x^3)/(2x-sinx-xcosx) ("0/0")
x→0
=8lim(3x^2)/(2-cosx-cosx+xsinx) ("0/0")
x→0
=24lim(2x)/(2sinx+sinx+xcosx)
x→0
=48limx/(3sinx+xcosx) ("0/0")
x→0
=48lim1/(3cosx+cosx-xsinx)
x→0
=48*[1/(3+1+0)]
=12

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亲 我连小学数学都不会