已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 08:50:15
已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.
已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.
已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.
重心是中位线交点.
设L:y=kx+b, M (x1,y1), N(x2,y2)
如图MP=NP 3FP=BP P是MN中点
所以向量BF=2*向量FP
向量BF=（2,-4） 向量FP =（（x1+x2)/2-2,(y1+y2)/2)
据向量BF=2*向量FP 解得x1+x2=6,y1+y2=-4,所以P（3,-2）
y1+y2=k(x1+x2)+2b
所以-4=6k+2b.(1)
联立x^2/20+y^2/16=1和y=kx+b,
得（4+5k^2)x^2+10kbx+5b^2-80=0
6=x1+x2=-(10k^2)/（4+5kb).(2)
根据（1）（2）解得k=6/5 b=-28/5
所以L y=6/5x-28/5
设直线方程：y=kx+b(其他一样），与椭圆联立得到x1+x2和y1+y2(含有k和b).F2是右焦点，知到坐标。又是重心，通过三角形性质，找出M、N两点中点的坐标（用x1、x2、y1、y2），得到中点与中心的关系，求出重点坐标，解出x1+x2和y1+y2，求出直线的方程
由题意得：
由相似可求得：
三角形中点坐标是（3，-2）
设直线方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得（5k^2+4)+10kb+5b^2-80=0
x1+x2=-b/a=-10kb/5k^2=4=6 ①
将（3，-2)代入y=kx+b得b=-2-3k ②
将①代入②得 20k=24
解得k=6/5 ③
将③...
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由题意得：
由相似可求得：
三角形中点坐标是（3，-2）
设直线方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得（5k^2+4)+10kb+5b^2-80=0
x1+x2=-b/a=-10kb/5k^2=4=6 ①
将（3，-2)代入y=kx+b得b=-2-3k ②
将①代入②得 20k=24
解得k=6/5 ③
将③代入②得-28/5
所以y=6/5x-28/5
整理得6x-5y-28=0
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