设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2：x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:27:01
设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2：x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,
设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2：x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,求出直线l的方程；若不存在,说明理由
设椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C2：x^2=4√2y焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,离心率e=√3/3,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得OM·ON=-1,若存在,
因为抛物线的焦点F（0,√2）,所以b^2=2,又因为e=√3/3,所以a^2=3,所以椭圆C1：
x^2/3+y^2/2=1,右焦点F2(1,0).
设L：y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),因为OM·ON=-1,所以x1*x2+y1*y2=-1.
由y=k(x-1)和x^2/3+y^2/2=1联立得：（2+3k^2）x^2-6k^2*x+3k^2-6=0
所以x1*x2=3(k^2-2)/(2+3k^2),x1+x2=6k^2/(2+3k^2)
又y1*y2=k^2(x1-1)(x2-1)=k^2*x1*x2-k^2(x1+x2)+k^2
所以：x1*x2+y1*y2=(1+k^2)x1x2-k^2(x1+x2)+k^2=-1
化简得：k^2=2,所以k=√2或k=-√2.
所以存在L:y=√2(x-1)=或y=-√2(x-1)