如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36 、z²+zx+x²=169/4,求xy+yz+zx值

如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36 、z²+zx+x²=169/4,求xy+yz+zx值
如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36 、z²+zx+x²=169/4,
求xy+yz+zx值

如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36 、z²+zx+x²=169/4,求xy+yz+zx值
该题可以进行图形辅助解析
由x²+y²+xy=25/4
x²+z²+xz=169/4
y²+z²+yz=36=144/4   
可以看出：144/4+25/4=169/4
这时可以借此联想到余弦定理
过点O做两两夹角为120度的三条线段,设AO=x,  BO=y,  CO=z   (如下图所示,∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°)
在△ABO中 由余弦定理可得：AB²=AO²+BO²－2AO*BO*cos∠AOB=x²+y²－xy*2cos120°=x²+y²+xy=25/4
同理在△AOC中 由余弦定理可得：AC²=x²+z²+xz=169/4
在△BOC中 由余弦定理可得：BC²=y²+z²+yz=36=144/4    分别解出：AB=5/2     AC=13/2     BC=6
由上述三式知：AC²=AB²+BC²    即△ABC是直角三角形
所以S△ABC=AB*BC/2=15/2  …………①
由正余弦定理知 S△AOB=½*AO*BO*sin∠AOB=(√3/4)xy
 同理：S△AOC=(√3/4)xz     S△BOC=(√3/4)yz
 即S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=√3（xy+xz+yz）/4  …………②
由①②两式可解得：
xy+xz+yz=10√3     （十倍根号三）

你好！这是2005年北方数学奥林匹克邀请赛第5题参考答案给的就是上述几何解法代数解法如下：

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