已知函数f(x)=ax平方+bx+c,f(0)=0,对于任一实数恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等的实数根,(1)求f(x) (2)是否存在实数m,n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:57:09
已知函数f(x)=ax平方+bx+c,f(0)=0,对于任一实数恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等的实数根,(1)求f(x) (2)是否存在实数m,n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明
已知函数f(x)=ax平方+bx+c,f(0)=0,对于任一实数恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等的实数根,(1)求f(x) (2)是否存在实数m,n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由!
已知函数f(x)=ax平方+bx+c,f(0)=0,对于任一实数恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等的实数根,(1)求f(x) (2)是否存在实数m,n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明
（1）∵f（1-x）=f（1+x）,∴f（x）的对称轴为x=1,
可得- b2a =1即b=-2a．（*）
∵f（x）=x有两相等实根,∴ax2+bx=x,即方程ax2+（b-1）x=0有两相等实数根,
∴（b-1）2-4×a×0=0,解之得b=1,代入（*）得a=- 12 ,
∴函数的解析式为f（x）=- 12 x2+x．
（2）由（1）得f（x）=- 12 x2+x=- 12 （x-1）2+ 12 ≤ 12 ,
若函数f（x）在区间[m,n]上的值域为[3m,3n],可得3n≤ 12 ,所以m＜n≤ 16 ,
又∵函数的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=1,
∴f（x）在区间[m,n]上单调递增,有f（m）=3m且f（n）=3n,
解之得m=0或m=-4,n=0或n=-4,
又∵m＜n,∴m=-4,n=0．
即存在实数m=-4、n=0,使得函数f（x）在区间[m,n]上的值域恰好为[3m,3n]．