已知关于x的方程3^x=(2a+3)/(5-x)有正根,求实数a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 01:51:23
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已知关于x的方程3^x=(2a+3)/(5-x)有正根,求实数a的取值范围
已知关于x的方程3^x=(2a+3)/(5-x)有正根,求实数a的取值范围

已知关于x的方程3^x=(2a+3)/(5-x)有正根,求实数a的取值范围
a=-3/2时方程没有正根
a不等于-3/2时,2边同时取倒数得到
(1/3)^x=(5-x)/(2a+3),用图像法求解,在坐标系下画出y=(1/3)^x的图像(在此不好写,自己下去画画),y=(5-x)/(2a+3)是一条过定点(5,0)的直线,由图像知当斜率为负时,直线为指数函数的切线时,斜率可取到临界值.设这时的斜率为k,切点(x0,(1/3)^x0),求导可得
k=(1/3)^x0*ln1/3,可由点斜式写出切线方程
y-(1/3)^x0=(1/3)^x0*ln1/3(x-x0),因为(5,0)在直线上,带进去可救出x0=5-1/ln3,显然x0是大于0的,满足正根的条件,此时斜率k0=(1/3)^(5-1/ln3)*ln1/3
由图像得当直线的斜率k满足k>0或者k<=k0时都能保证方程有正根,k=-1/(2a+3)
所以有-1/(2a+3)>0或者-1/(2a+3)<=(1/3)^(5-1/ln3)*ln1/3
求出a的取值范围a<[3^(5-1/ln3)/2ln3]-3/2且a不等于-3/2